Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D為AC延長線上一點，AC=3CD，過點D作DH∥AB，交BC的延長線于點H.

(1)求BD·cos∠HBD的值；

(2)若∠CBD=∠A，求AB的長.

Answer 1

【答案】（1）BD·cos∠HBD=4；（2）AB=6.

【解析】試題分析:本題主要考查相似三角形的判定與性質,（1）在Rt△BHD中,BH即為BD·cos∠HBD的值,根據三角形相似可得AD與DC等于BC與HC之比,已知BC=3,即可求得BH的長,（2）根據三角形相似建立兩個等量關系和,再根據已知邊長求得AB和DH的關系為AB=3DH,代入其中一個等式求得邊長DH,即可得到另一個邊長AB.

解:(1)∵DH∥AB，∴∠BHD=∠ABC=90°，

∴△ABC∽△DHC，∴ =.

∵AC=3CD，BC=3，∴CH=1.∴BH=BC+CH=4.

在Rt△BHD中，cos ∠HBD=.

∴BD·cos∠HBD=BH=4.

(2)方法一:

∵∠A=∠CBD，∠ABC=∠BHD，

∴△ABC∽△BHD，

∴=.

∵△ABC∽△DHC，

∴==，∴AB=3DH，

∴=，DH=2，∴AB=6.

方法二:

∵∠CBD=∠A，∠BDC=∠ADB，

∴△CDB∽△BDA，

∴=，BD2=CD·AD.∴BD2=CD·4CD=4CD2.

∴BD=2CD.

∵△CDB∽△BDA，∴ =.∴=.

∴AB=6.