Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，OA=3，OC=4，P為直線AB上一動點，將直線OP繞點P逆時針方向旋轉90°交直線BC于點Q．
（1）當點P在線段AB上運動（不與A，B重合）時，求證：OA•BQ=AP•BP；
（2）在（1）成立的條件下，設點P的橫坐標為m，線段CQ的長度為l，求出l關于m的函數解析式，并判斷l是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由；
（3）直線AB上是否存在點P，使△POQ為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ，再根據相似三角形的對應邊成比例即可得到OA•BQ=AP•BP；
（2）由第一問可求得BQ的值，從而求得l=3-

4m-m2

3

=

1

3

(m2-4m+4)+

5

3

=

1

3

(m-2)2+

5

3

，
所以可得到當m=2時，l有最小值

5

3

；
（3）因為△POQ是等腰三角形所以PO=PQ，根據等式PA²+AO²=PB²+BQ²可求得m的值，從而就可確定點P的坐標．

解答：（1）證明：∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△OAP∽△PBQ，則

AP

OA

=

BQ

BP

，
即OA•BQ=AP•BP．（3分）

（2）解：∵OA•BQ=AP•BP，即BQ=

m(4-m)

3

，
∴l=3-

4m-m2

3

=

1

3

(m2-4m+4)+

5

3

=

1

3

(m-2)2+

5

3

∴當m=2時，l有最小值

5

3

．（6分）

（3）解法一：
∵△POQ是等腰三角形
①若P在線段AB上，∠OPQ=90°
∴PO=PQ，又△OAP∽△PBQ，
∴△OAP≌△PBQ
∴PB=AO，即3=4-m，
∴m=1，即P點坐標（1，3）；（8分）
②若P在線段AB的延長線上，PQ交CB的延長線于Q，PO=PQ，
又∵△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ，
∴AO=PB，即3=m-4，即P點的坐標（7，3）；
③當P在線段BA的延長線上時，顯然不成立；
故存在P₁（1，3），P₂（7，3）使△POQ為等腰三角形；（10分）

解法二：
∵△POQ是等腰三角形
∴PO=PQ，
即PA²+AO²=PB²+BQ²（7分）
則m²+3²=（4-m）²+（

4m-m2

3

）²（8分）
整理得m⁴-8m³+16m²-72m+63=0
m⁴-8m³+7m²+9m²-72m+63=0
m²（m²-8m+7）+9（m²-8m+7）=0
（m-1）（m-7）（m²+9）=0
∴m₁=1，m₂=7，m²=-9（舍去）
故存在P₁（1，3），P₂（7，3）使△POQ為等腰三角形．（10分）

點評：此題考查學生對等腰三角形的性質，相似三角形的判定，矩形的性質及二次函數等知識點的綜合運用．