Question

【題目】已知：A是以BC為直徑的圓上的一點，BE是⊙O的切線，CA的延長線與BE交于E點，F是BE的中點，延長AF，CB交于點P．

（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AF=3，BC=8，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AB，OA，OF；

∵F是BE的中點，

∴FE=BF．

∵OB=OC，

∴OF∥EC．

∴∠C=∠POF．

∴∠AOF=∠CAO．

∵∠C=∠CAO，

∴∠POF=∠AOF．

∵BO=AO，OF=OF，

∴∠OAP=∠EBC=90°．

∴PA是⊙O的切線

（2）解：∵BE是⊙O的切線，PA是⊙O的切線，

∴BF=AF=3，

∴BE=6．

∵BC=8，∠CBE=90°，

∴CE=10．

∵BE是⊙O的切線，

∴EB2=AEEC．

∴AE=3.6．

【解析】（1）要想證PA是⊙O的切線，只要連接OA，求證∠OAP=90°即可；（2）先由切線長定理可知BF=AF，再在RT△BCE中根據勾股定理求出CE，最后由切割線定理求出AE的長．
【考點精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關知識點，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．