Question

【題目】方法感悟：

（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC、CD上分別存在點G、H，使得四邊形EFGH的周長最小？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由．

問題解決：

（2）如圖②，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，現想從此板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，經研究，只有當點E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AF＜BF，并滿足點H在矩形ABCD內部或邊上時，才有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積，并寫出在以B為坐標原點，直線BC為x軸，直線BA為y軸的坐標系中，點H的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）存在得四邊形EFGH的周長最小，最小值為2+10；

（2）當所裁得的四邊形部件為四邊形EFGH′時，裁得了符合條件的最大部件，這個部件的面積為（5+）m2，H(+3,1－)

【解析】分析: （1）作E關于CD的對稱點E′，作F關于BC的對稱點F′，連接E′F′，得到此時四邊形EFGH的周長最小，根據軸對稱的性質得到BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2，∠A＝90°，于是得到AF′＝6，AE′＝8，求出E′F′＝10，EF＝2即可得到結論；

（2）根據余角的性質得到1＝∠2，推出△AEF≌△BGF，根據全等三角形的性質得到AF＝BG，AE＝BF，設AF＝x，則AE＝BF＝3x根據勾股定理列方程得到AF＝BG＝1，BF＝AE＝2，作△EFG關于EG的對稱△EOG，則四邊形EFGO是正方形，∠EOG＝90°，以O為圓心，以EG為半徑作⊙O，則∠EHG＝45°的點H在⊙O上，連接FO，并延長交⊙O于H′，則H′在EG的垂直平分線上，連接EH′GH′，則∠EH′G＝45°，于是得到四邊形EFGH′是符合條件的最大部件，根據矩形的面積公式即可得到結論．

詳解:

解：（1）存在，理由：作E關于CD的對稱點E′，

作F關于BC的對稱點F′，

連接E′F′，交BC于G，交CD于H，連接FG，EH，

則F′G=FG，E′H=EH，則此時四邊形EFGH的周長最小，

由題意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，

∴AF′=6，AE′=8，

∴E′F′=10，EF=2，

∴四邊形EFGH的周長的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10，

∴在邊BC、CD上分別存在點G、H，

使得四邊形EFGH的周長最小，最小值為2+10；

（2）能裁得，

理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，

∴∠1=∠2，

在△AEF與△BGF中， ，

∴△AEF≌△BGF，

∴AF=BG，AE=BF，

設AF=x，則AE=BF=3﹣x，

∴x2+（3﹣x）2=（）2，

解得：x=1，x=2（不合題意，舍去），

∴AF=BG=1，BF=AE=2，

∴DE=4，CG=5，

連接EG，作△EFG關于EG的對稱△EOG，

則四邊形EFGO是正方形，∠EOG=90°，

以O為圓心，以EG為半徑作⊙O，

則∠EHG=45°的點在⊙O上，

連接FO，并延長交⊙O于H′，則H′在EG的垂直平分線上，

連接EH′GH′，則∠EH′G=45°，

此時，四邊形EFGH′是要想裁得符合要求的面積最大的，

∴C在線段EG的垂直平分線設，

∴點F，O，H′，C在一條直線上，

∵EG=，

∴OF=EG=，

∵CF=2，

∴OC=，

∵OH′=OE=FG=，

∴OH′＜OC，

∴點H′在矩形ABCD的內部，

∴可以在矩形ABCD中，裁得符合條件的面積最大的四邊形EFGH′部件，

這個部件的面積=EGFH′=××（+）=5+，

∴當所裁得的四邊形部件為四邊形EFGH′時，裁得了符合條件的最大部件，這個部件的面積為（5+）m2．H(+3,1－).

點睛: 本題考查了全等三角形的判定和性質，矩形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，存在性問題，掌握的作出輔助線利用對稱的性質解決問題是解題的關鍵．