Question

【題目】如圖，已知E，F分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點，AF與DE交于點M.則下列結論：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB.其中正確結論的有( )

A.4個B.3個C.2個D.1個

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據正方形的性質可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根據中點定義求出AE＝BF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，從而求出∠AMD＝90°，再根據鄰補角的定義可得∠AME＝90°，得出①正確；根據中線的定義判斷出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判斷出②錯誤；設正方形ABCD的邊長為2a，利用勾股定理列式求出AF，再根據似三角形對應邊成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判斷出③正確；過點M作MN⊥AB于N，由相似三角形的性質得出，解得MN＝a，AN＝a，得出NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根據勾股定理得BM＝a，求出ME+MF＝+＝a，MB＝a，得出ME+MF＝MB，故④正確.于是得到結論.

解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，

∵E、F分別為邊AB，BC的中點，

∴AE＝BF＝BC，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE(SAS)，

∴∠BAF＝∠ADE，

∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，

∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，

∴∠AMD＝180°﹣(∠ADE+∠DAF)＝180°﹣90°＝90°，

∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，

故①正確；

∵DE是△ABD的中線，

∴∠ADE≠∠EDB，

∴∠BAF≠∠EDB，

故②錯誤；

設正方形ABCD的邊長為2a，則BF＝a，

在Rt△ABF中，，

∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，

∴△AME∽△ABF，

∴，即，

解得：，

∴，

∴，

故③正確；

如圖，過點M作MN⊥AB于N，

則MN∥BC，

∴△AMN∽△AFB，

∴，

即，

解得，，

∴，

根據勾股定理得：，

∵ME+MF＝+＝a，MB＝a，

∴ME+MF＝MB，

故④正確.

綜上所述，正確的結論有①③④共3個.

故選：B.