Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，A（a，b），B（c，0）是x軸正半軸上一點，∠ABO＝30°，若與|2﹣a|互為相反數．

（1）求c的值；

（2）如圖2，AC⊥AB交x軸于C，以AC為邊的正方形ACDE的對角線AD交x軸于F．

①求證：BE＝2OC；

②記BF2﹣OF2＝m，OC2＝n，求的值．

Answer 1

【答案】（1）2+2；（2）①詳見解析；②3．

【解析】

（1）利用非負數的性質求出a，b的值，可得點A的坐標，如圖1中，過點A作AH⊥OB于H．解直角三角形求出OH，BH即可解決問題．

（2）①如圖2中，延長AC交y軸于G，過點A作AT⊥OA交OB于T．證△AOG≌△ATB（AAS），推出AG＝AB，∠AGO＝∠ABT＝30°可得結論．

②如圖2中，連接GF．證明△GAF≌△BAF（SAS），推出BF＝FG可得結論．

（1）解：∵與|2﹣a|互為相反數，

又∵≥0，|2﹣a|≥0，

∴a＝b＝2，

∴A（2，2），

如圖1中，過點A作AH⊥OB于H．

∴AH＝OH＝2，

在Rt△AHB中，∵∠AHB＝90°，AH＝2，∠ABH＝30°，

∴tan∠ABH==tan30°

∴ BH＝AH＝2，

∴OB＝2+2，

∴B（2+2，0）．

（2）①證明：如圖2中，延長AC交y軸于G，過點A作AT⊥OA交OB于T．

由（1）可知∠AOB＝45°，

∵OA⊥AT，AC⊥AB，

∴∠OAT＝∠CAB＝90°，

∴∠OAG＝∠TAB，∠ATO＝∠AOT＝45°，

∴OA＝OT，

∵∠AOG＝∠ATB＝135°，

∴△AOG≌△ATB（AAS），

∴AG＝AB，∠AGO＝∠ABT＝30°，

∵四邊形ACDE是正方形，

∴AC＝AE，

∵AG＝AB，

∴CG＝BE，

∵∠COG＝90°∠CGO＝30°，

∴CG＝2OC，

∴BE＝2OC．

②解：如圖2中，連接GF．

∵AG＝AB，∠GAF＝∠BAF＝45°，AF＝AF，

∴△GAF≌△BAF（SAS），

∴BF＝FG，

∴m＝BF2﹣OF2＝GF2﹣OF2＝OG2，

∵OG＝OC，

∴＝＝（）2＝3．