Question

【題目】已知O為直線AB上一點，射線OD、OC、OE位于直線AB上方，OD在OE的左側，∠AOC＝120°，∠DOE＝α．

（1）如圖1，α＝70°，當OD平分∠AOC時，求∠EOB的度數．

（2）如圖2，若∠DOC＝2∠AOD，且α＜80°，求∠EOB的度數（用含α的代數式表示）；

（3）若α＝90°，點F在射線OB上，若射線OF繞點O順時針旋轉n°（0＜n＜180），∠FOA＝2∠AOD，OH平分∠EOC，當∠FOH＝∠AOC時，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）10°；（2）140°﹣α；（3）OF旋轉的角度為72°或者168°．

【解析】

（1）根據角平分線的定義即可得到結論；

（2）根據角的和差即可得到結論；

（3）①當∠DOE在∠AOC內部，當∠DOE在射線OC的兩側，根據題意列方程即可得到結論．

解：（1）∵OD平分∠AOC，

∴∠AOD＝∠COD＝60°，

∵∠DOE＝70°，

∴∠COE＝10°，

∴∠EOB＝180°﹣120°﹣10°＝50°；

（2）∵∠DOC＝2∠COE，

∴∠DOC＝80°，

∴∠EOC＝80°﹣α，

∵∠COB＝60°，

∴∠EOB＝140°﹣α；

（3）①當∠DOE在∠AOC內部，

令∠AOD＝x°，則∠AOF＝2x°，

∠EOC＝120﹣x°﹣90°＝30°﹣x°，

∠EOH＝（30°﹣x），

∴∠HOF＝（30°﹣x）+90°+x°+2 x°＝120°，

解得：x＝6，

則∠BOF＝180°﹣2x＝168°；

②當∠DOE在射線OC的兩側，

令∠AOD＝x°，則∠AOF＝2x°，∠COD＝120﹣x°，

∠EOC＝90°﹣（120﹣x°）＝x°﹣30°，

∠EOH＝（x°﹣30°），

∠EOB＝90°﹣x°，∠BOF＝180°﹣2x，

∴∠HOF＝（x°﹣30°）+90°﹣x+180°﹣2x＝120°，

解得：x＝54，

則∠BOF＝180°﹣2x＝72°，

綜上所述得：OF旋轉的角度為72°或者168°．