Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，，，且， 滿足，直線經過點和．

（1） 點的坐標為（ ， ）， 點的坐標為（ ， ）；

（2）如圖1，已知直線經過點 和軸上一點， ，點在直線AB上且位于軸右側圖象上一點，連接，且．

①求點坐標；

②將沿直線AM 平移得到，平移后的點與點重合，為 上的一動點，當的值最小時，請求出最小值及此時 N 點的坐標；

（3）如圖 2，將點向左平移 2 個單位到點，直線經過點和，點是點關于軸的對稱點，直線經過點和點,動點從原點出發沿著軸正方向運動，連接，過點作直線的垂線交軸于點，在直線上是否存在點，使得是等腰直角三角形？若存在，求出點坐標．

Answer 1

【答案】（1）-1，0；0，-3；（2）①點；②點，最小值為；（3）點的坐標為或或．

【解析】

（1）根據兩個非負數和為0的性質即可求得點A、B的坐標；

（2）①先求得直線AB的解析式，根據求得，繼而求得點的橫坐標，從而求得答案；

②先求得直線AM的解析式及點的坐標，過點過軸的平行線交直線與點，過點作垂直于的延長線于點，求得，即為最小值，即點為所求，求得點的坐標，再求得的長即可；

（3）先求得直線BD的解析式，設點，同理求得直線的解析式，求出點的坐標為 ，證得，分∠QGE為直角、∠EQG為直角、∠QEG為直角，三種情況分別求解即可．

（1）∵，

∴，，

則，

故點A、B的坐標分別為：，

故答案為：；；

（2）①直線經過點和軸上一點，，

∴，

由(1)得：點A、B的坐標分別為：，則，，

設直線AB的解析式為：，

∴

解得：

∴直線AB的解析式為：，

∵

∴

作⊥軸于，

∴，

∴，

∴點的橫坐標為，

又點在直線AB上，

∴，

∴點的坐標為；

②由(1)得：點A、B的坐標分別為：，則，，

∴，，

∴點的坐標為 ，

設直線AM的解析式為：，

∴

解得：

∴直線AM的解析式為：，

根據題意，平移后點，

過點過軸的平行線交直線與點，過點作垂直于的延長線于點，如圖1，

∴∥，

∵，

∴，

則，

為最小值，即點為所求，

則點N的橫坐標與點的橫坐標相同都是，

點N在直線AM上，

∴，

∴點的坐標為 ，

∴，

；

（3）根據題意得：

點的坐標分別為：，

設直線的解析式為：，

∴，

解得：，

∴直線BD的解析式為：，

設點，同理直線的解析式為：，

∵，

∴設直線的解析式為：，

當時，，則，

則直線的解析式為： ，

故點的坐標為 ，

即，

①當為直角時，

如下圖，

∵為等腰直角三角形，

∴，

則點的坐標為 ，

將點的坐標代入直線的解析式并解得：，

故點；

②當為直角時，

如下圖，作于，

∵為等腰直角三角形，

∴，，

∴∥軸，、和都是底邊相等的等腰直角三角形，

∴，

∴，

則點的坐標為 ，

將點的坐標代入直線的解析式并解得：，

故點；

③當為直角時，

如下圖，

同理可得點的坐標為 ，

將點的坐標代入直線的解析式并解得：，

故點；

綜上，點的坐標為：或或．