Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于點E，在BC上截取BF=AE，連接AF交CE于點G，連接DG交AC于點H，過點A作AN⊥BC，垂足為N，AN交CE于點M.則下列結論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正確的序號是__________.

Answer 1

【答案】①②③④.

【解析】試題分析：如解答圖所示：

結論①正確：證明△ACM≌△ABF即可；

結論②正確：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，進而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；

結論③正確：證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等；

結論④正確：證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等．

試題解析：（1）結論①正確．理由如下：

∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，

∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，

∴∠5=∠6，

∴AM=AE=BF．

易知ADCN為正方形，△ABC為等腰直角三角形，

∴AB=AC．

在△ACM與△ABF中，

，

∴△ACM≌△ABF（SAS），

∴CM=AF；

（2）結論②正確．理由如下：

∵△ACM≌△ABF，

∴∠2=∠4，

∵∠2+∠6=90°，

∴∠4+∠6=90°，

∴CE⊥AF；

（3）結論③正確．理由如下：

證法一：∵CE⊥AF，

∴∠ADC+∠AGC=180°，

∴A、D、C、G四點共圓，

∴∠7=∠2，

∵∠2=∠4，

∴∠7=∠4，

又∵∠DAH=∠B=45°，

∴△ABF∽△DAH；

證法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，

∴△ACF為等腰三角形，AC=CF，點G為AF中點．

在Rt△ANF中，點G為斜邊AF中點，

∴NG=AG，

∴∠MNG=∠3，

∴∠DAG=∠CNG．

在△ADG與△NCG中，

，

∴△ADG≌△NCG（SAS），

∴∠7=∠1，

又∵∠1=∠2=∠4，

∴∠7=∠4，

又∵∠DAH=∠B=45°，

∴△ABF∽△DAH；

（4）結論④正確．理由如下：

證法一：∵A、D、C、G四點共圓，

∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，

∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．

證法二：∵AM=AE，CE⊥AF，

∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2

則∠CGN=180°-∠1-90°-∠MNG=180°-∠1-90°-∠3=90°-∠1-∠2=45°．

∵△ADG≌△NCG，

∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，

∴GD平分∠AGC．

綜上所述，正確的結論是：①②③④，共4個．