Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為菱形，以AD為直徑作⊙O交AB于點F，連接DB交⊙O于點H，E是BC上的一點，且BE＝BF，連接DE．

（1）求證：DE是⊙O的切線．

（2）若BF＝2，BD＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）證明△DAF≌△DCE，可得∠DFA=∠DEC，證出∠ADE=∠DEC=90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切線．
（2）在Rt△ADF和Rt△BDF中，可得AD2-（AD-BF）2=DB2-BF2，解方程可求出AD的長即可．

（1）證明：如圖1，連接DF，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，

∵BF＝BE，

∴AB﹣BF＝BC﹣BE，

即AF＝CE，

∴△DAF≌△DCE（SAS），

∴∠DFA＝∠DEC，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠DFA＝90°，

∴∠DEC＝90°

∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DEC＝90°，

∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：如圖2，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠DFA＝90°，

∴∠DFB＝90°，

在Rt△ADF和Rt△BDF中，

∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，

∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，

∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，

∴

∴AD＝5．

∴⊙O的半徑為．