Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延長線交AB于H．

（1）求證：△CAG∽△ABC；

（2）求S△AGH：S△ABC的值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析； （2）

【解析】試題分析：（1）設GH=a，根據重心的性質得CG=2HG=2a，根據重心的定義得CH為AB邊上的中線，接著根據直角三角形斜邊上的中線性質得到CH=AH=BH=3a，則∠1=∠B，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，所以∠B=∠3，加上∠ACB=∠AGC=90°，于是根據相似三角形的判定方法得到△CAG∽△ABC；

（2）由點G是△ABC的重心，得到CG=2HG，于是得到HG=CH，求得S△AHG=S△ACH，根據CH為AB邊上的中線，于是得到S△ACH=S△ABC，推出S△AHG=×S△ABC，即可得到結論．

試題解析：證明：（1）如圖，設GH=a，∵點G是△ABC的重心，∴CG=2HG=2a，CH為AB邊上的中線，∴CH=AH=BH=3a，∴∠1=∠B，∵AG⊥CG，∴∠2+∠3=90°，而∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴∠B=∠3，而∠ACB=∠AGC=90°，∴△CAG∽△ABC；

（2）∵點G是△ABC的重心，∴CG=2HG，∴HG=CH，∴S△AHG=S△ACH，∵CH為AB邊上的中線，∴S△ACH=S△ABC，∴S△AHG=×S△ABC，∴S△AGH：S△ABC=．