Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸相交于點A（-2，0）、B（4，0），與y軸交于點C（0，-4），BC與拋物線的對稱軸相交于點D．

（1）求該拋物線的表達式，并直接寫出點D的坐標；

（2）過點A作AE⊥AC交拋物線于點E，求點E的坐標；

（3）在（2）的條件下，點F在射線AE上，若△ADF∽△ABC，求點F 的坐標．

Answer 1

【答案】（1），D（1，-3）；（2）；（3）或．

【解析】分析：（1）設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4),將C（0，-4）代入求解即可；記拋物線的對稱軸與x軸交點坐標為F，先求得拋物線的對稱軸，則可得到FB的長，然后再證明△BFD為等腰直角三角形，從而可得到FD=FB=3，故此可得到點D的坐標；（2）過點E作EH⊥AB，垂為H．先證tan∠EAH=tan∠ACO=,設EH=t,則AH=2t,從而可得到E（-2+2t,t）,最后，將點E的坐標代入拋物線的解析式求解即可；（3）記AE與拋物線的對稱軸的交點為F，記對稱軸與x軸的交點為G．由相似三角形的性質可得到∠ADF=∠ABC=45°，然后再證明∠ADF=45°，然后證明△AFG∽△AEH，最后，依據相似三角形的性質可求得FG的．

本題解析：解：設拋物線的解析式為y=a（x+2）(x-4），C（0，-4）代入得：-8a= -4，解：a=，∴拋物線的解析式為y=x-x-4.

如下圖所示：記拋物線的對稱軸與x軸交點坐標為F.

∵拋物線的對稱軸為x==1, ∴BF=OB-OF=3, ∵BO=OC=4, ∠BOC=90°, ∴∠OBC=45. ∴△BFD為等腰直角三角形，∴FD=FB=3，∴D(1，-3)

(2)如下圖：過點E作EH⊥AB，垂為H，

∵∠EAB+∠BAC=90°, ∠BAC+∠ACO=90°, ∴∠EAH=∠ACO, ∴tan∠EAH=tan∠ACO=,設EH=t,則AH=2t, ∴點E的坐標為（-2+2t,t）,將（-2+2t,t）代入拋物線的解析式為： (-2+2t)-(-2+2t)-4=t,解得：t=或t=0(舍去)，

∴E（5， ）.

(3)如下圖所示：

∵△ADF∽△ABC, ∴∠ADF=∠ABC=45°,由（2）知∠BDF=45°, ∵點A與點B關于DF對稱，∴∠ADF=∠ABC, ∴點F在拋物線的對稱軸上，∵FG∥EH, ∴△AFG∽△AEH. ∴,即,解得：FG=,∴F(1， ).