Question

【題目】已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P．

（1）求證：AP=BQ；
（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵正方形ABCD

∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°

∵DP⊥AQ

∴∠ADP+∠DAP=90°

∴∠BAQ=∠ADP

∵AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P

∴∠AQB=∠DPA=90°

∴△AQB≌△DPA（AAS）

∴AP=BQ

（2）解：①AQ﹣AP=PQ

②AQ﹣BQ=PQ

③DP﹣AP=PQ

④DP﹣BQ=PQ

【解析】（1）根據正方形的性質得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根據已知條件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出結論；（2）根據AQ﹣AP=PQ和全等三角形的對應邊相等進行判斷分析．本題主要考查了正方形以及全等三角形，解決問題的關鍵是掌握：正方形的四條邊相等，四個角都是直角．解題時需要運用：有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，以及全等三角形的對應邊相等．