Question

【題目】如圖，為了測量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是30°，然后在水平地而上向建筑物前進了50m到達D處，此時遇到一斜坡，坡度i=1： ，沿著斜坡前進20米到達E處測得建筑物頂部的仰角是45°，（坡度i=1： 是指坡面的鉛直高度FE與水平寬度DE的比）．請你計算出該建筑物BC的高度．（取 =1.732，結果精確到0.1m）．

Answer 1

【答案】解：過E作EF⊥AB于F，EG⊥BC與G，

∵CB⊥AB，

∴四邊形EFBG是矩形，

∴EG=FB，EF=BG，

設CG=x米，

∵∠CEG=45°，

∴FB=EG=CG=x，

∵DE的坡度i=1： ，

∴∠EDF=30°，

∵DE=20，

∴DF=20cos30°=10 ，BG=EF=20sin30°=10，

∴AB=50+10 +x，BC=x+10，

在Rt△ABC中，

∵∠A=30°，

∴BC=ABtan∠A，

即x+10= （50+10 +x），

解得：x≈68.3，

∴BC=68.3米，

答：建筑物BC的高度是78.3米．

【解析】已知DE得坡度及在E處測得建筑物頂部的仰角是45°，因此添加輔助線，將要解決的問題轉化到直角三角形中求解。過E作EF⊥AB于F，EG⊥BC與G，易證四邊形EFBG是矩形，在Rt△DEF，Rt△CEG中分別求出DF、BG、EF的長，再在Rt△ABC中利用解直角三角形求出BC的長。
【考點精析】認真審題，首先需要了解解直角三角形(解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法))，還要掌握關于坡度坡角問題(坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比)．用字母i表示，即i=h/l．把坡面與水平面的夾角記作A(叫做坡角)，那么i=h/l=tanA)的相關知識才是答題的關鍵．