Question

【題目】已知在中， ，以上的一點為圓心，以為半徑的圓交于點，交于點．

（）求證： ．

（）如果是⊙的切線， 是切點， 是的中點，當時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC=4.

【解析】試題分析：（1）連接DE，根據圓周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，進而證得△ADE∽△ABC，根據相似三角形對應邊成比例即可求得結論；

（2）連接OD，根據切線的性質求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根據已知求得∠OBD=30°，進而求得∠BAC=30°，根據30°的直角三角形的性質即可求得AC的長．

試題解析：（1）證明：連接DE，∵AE是直徑，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABC，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴ ，∴ACAD=ABAE；

（2）解：連接OD，∵BD是⊙O的切線，∴OD⊥BD，在RT△OBD中，OE=BE=OD，∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．