Question

【題目】已知半圓O，點C、D在弧AB上，連接AD、BD、CD，∠BDC+2∠ABD＝90°．

（1）如圖1，求證：DA＝DC；

（2）如圖2，作OE⊥BD交半圓O于點E，連接AE交BD于點F，連接AC，求證：∠DFA＝∠DAC+∠DAE；

（3）如圖3，在（2）的條件下，設AC交BD于點G，FG＝1，AG＝5，求半圓O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接OD，OC，根據同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍得到∠BOC+2∠AOD＝180°，再根據∠BOC+∠AOD+∠COD＝180°，即可得到∠AOD＝∠COD，由此得到結論；

（2）根據垂徑定理得到∠DAE＝∠EAB，由（1）的結論可得到∠DBA＝∠DAC，再根據三角形外角的性質得到結論；

（3）過點A作AM⊥AB，交BD的延長線于點M，連接OD交AC于N，根據等角對等邊求出AM=AG=5，根據AB是直徑證得∠MAD＝∠ABD，再由∠DAE＝∠EAB得到∠MAE＝∠MFA，從而求出AM＝MF＝5，根據等腰三角形的三線合一的性質求出DM，根據勾股定理求出AD，再根據三角函數求出AB即可得到半徑的長.

證明：（1）如圖1，連接OD，OC，

∵∠BOC＝2∠BDC，∠AOD＝2∠ABD，∠BDC+2∠ABD＝90°，

∴∠BOC+2∠AOD＝180°，

∵∠BOC+∠AOD+∠COD＝180°，

∴∠AOD＝∠COD，

∴AD＝CD；

（2）如圖2，∵OE⊥BD，

∴,

∴∠DAE＝∠EAB，

∵AD＝CD，

∴∠DAC＝∠C，且∠DBA＝∠C，

∴∠DBA＝∠DAC，

∴∠DFA＝∠EAB+∠DBA＝∠DAE+∠DAC；

（3）如圖2，過點A作AM⊥AB，交BD的延長線于點M，連接OD交AC于N，

∵OD＝OB，

∴∠ABD＝∠ODB，

∵AD＝CD，

∴OD⊥AC，

∴∠AGD+∠ODB＝90°，

∵∠MAB＝90°，

∴∠ABD+∠M＝90°，

∴∠M＝∠AGD，

∴AM＝AG＝5，

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠M+∠MAD＝90°，

∴∠MAD＝∠ABD，

∴∠MAD+∠DAE＝∠ABD+∠EAB，

∴∠MAE＝∠MFA，

∴AM＝MF＝5，

∴MG＝MF+FG＝6，

∵AD⊥MG，

∴DM＝DG＝3，

∴DF＝DG﹣FG＝2，

∴AD＝＝4，

∵∠ABD＝∠MAD，

∴sin∠ABD＝sin∠MAD，

∴,

∴,

∴AB＝，

∴OA＝，

∴半圓O的半徑．