Question

如圖所示，“嫦娥一號”探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用2c₁和2c₂分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a₁和2a₂分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
①a₁+c₁=a₂+c₂；②a₁-c₁=a₂-c₂；③c₁a₂＞a₁c₂；④

c1

a1

＜

c2

a2

．
其中正確式子的序號是（　　）

• A、①③
• B、②③
• C、①④
• D、②④

Answer 1

分析：根據圖象可知a₁＞a₂，c₁＞c₂，進而根據基本不等式的性質可知a₁+c₁＞a₂+c₂；

c1

a1

＞

c2

a2

進而判斷①④不正確．③正確；根據a₁-c₁=|PF|，a₂-c₂=|PF|可知a₁-c₁=a₂-c₂；

解答：解：如圖可知a₁＞a₂，c₁＞c₂，
∴a₁+c₁＞a₂+c₂；
∴①不正確，
∵a₁-c₁=|PF|，a₂-c₂=|PF|，
∴a₁-c₁=a₂-c₂；②正確．
a₁+c₂=a₂+c₁
可得（a₁+c₂）²=（a₂+c₁）²，
a₁²-c₁²+2a₁c₂=a₂²-c₂²+2a₂c₁，
即b₁²+2a₁c₂=b₂²+2a₂c₁，∵b₁＞b₂
所以c₁a₂＞a₁c₂
③正確；
可得

c1

a1

＞

c2

a2

，④不正確．
故選B．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質．考查了學生運用所學知識解決實際問題的能力．