Question

如圖所示，“嫦娥一號”探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用2c₁和2c₂分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a₁和2a₂分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
①a₁+c₁=a₂+c₂；②a₁-c₁=a₂-c₂；③c₁a₂＞a₁c₂；④

c1

a1

≤

c2

a2

．
其中正確式子的序號是

②③

．

Answer 1

分析：根據圖象可知a₁＞a₂，c₁＞c₂，進而根據基本不等式的性質分別進行判斷即可．可知a₁+c₁＞a₂+c₂；

c1

a1

＞

c2

a2

，進而判斷①④不正確．③正確；根據a₁-c₁=|PF|，a₂-c₂=|PF|可知a₁-c₁=a₂-c₂；

解答：解：由圖可知a₁＞a₂，c₁＞c₂，∴a₁+c₁＞a₂+c₂，∴①不正確，
∵a₁-c₁=|PF|，a₂-c₂=|PF|，∴a₁-c₁=a₂-c₂，∴②正確．
a₁+c₂=a₂+c₁，可得（a₁+c₂）²=（a₂+c₁）²，
a₁²-c₁²+2a₁c₂=a₂²-c₂²+2a₂c₁，
即b₁²+2a₁c₂=b₂²+2a₂c₁，
∵b₁＞b₂，∴c₁a₂＞a₁c₂，∴③正確；
此時

c1

a1

＞

c2

a2

，∴④不正確．
故答案為：②③．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質．以及不等式的性質的應用，考查了學生運用所學知識解決實際問題的能力．