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(2)求使得函數是“類函數的常數的取值范圍. 【查看更多】

若函數y=f（x）（x∈D）同時滿足以下條件：
①它在定義域D上是單調函數；②存在區間[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，我們將這樣的函數稱作“A類函數”，
（1）函數y=2x-log₂x是不是“A類函數”？如果是，試找出[a，b]；如果不是，試說明理由；
（2）求使得函數f（x）=

1

2

x-

k

x

+1，x∈（0，+∞）是“A類函數”的常數k的取值范圍．

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已知函數

（Ⅰ）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）令g（x）= f（x）－x²，是否存在實數a，當x∈（0，e](e是自然常數)時，函數g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）當x∈（0，e]時，證明：

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。第一問中利用函數f（x）在[1，2]上是減函數，的導函數恒小于等于零，然后分離參數求解得到a的取值范圍。第二問中，

假設存在實數a，使有最小值3，利用，對a分類討論，進行求解得到a的值。

第三問中，

因為，這樣利用單調性證明得到不等式成立。

解：(Ⅰ)

(Ⅱ)

（Ⅲ）見解析

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（A類）定義在R上的函數y=f（x），對任意的a，b∈R，滿足f（a+b）=f（a）•f（b），當x＞0時，有f（x）＞1，其中f（1）=2
（1）求f（0）、f（-1）的值；（2）證明y=f（x）在（0，+∞）上是增函數；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．
（B類）已知定義在R上的奇函數f(x)=

-2x+b

2x+1+a

．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式-m2+(k+2)m-

3

2

＜f(x)＜m2+2km+k+

5

2

對一切實數x及m恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）定義：若存在一個非零常數T，使得f（x+T）=f（x）對定義域中的任何實數x都恒成立，那么，我們把f（x）叫以T為周期的周期函數，它特別有性質：對定義域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函數g（x0是定義在R上的周期為2的奇函數，且當x∈（-1，1）時，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．

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（A類）定義在R上的函數y=f（x），對任意的a，b∈R，滿足f（a+b）=f（a）•f（b），當x＞0時，有f（x）＞1，其中f（1）=2
（1）求f（0）、f（-1）的值；（2）證明y=f（x）在（0，+∞）上是增函數；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．
（B類）已知定義在R上的奇函數f(x)=

-2x+b

2x+1+a

．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式-m2+(k+2)m-

3

2

＜f(x)＜m2+2km+k+

5

2

對一切實數x及m恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）定義：若存在一個非零常數T，使得f（x+T）=f（x）對定義域中的任何實數x都恒成立，那么，我們把f（x）叫以T為周期的周期函數，它特別有性質：對定義域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函數g（x0是定義在R上的周期為2的奇函數，且當x∈（-1，1）時，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．

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一、填空題

1． 2． 3．2 4． 5. 10 6．i100 7．

8． 9． 10． 11． 12．

二、選擇題

13． 14．A 15．A． 16． D

三、解答題

17．由已知可得該幾何體是一個底面為矩形,高為4,頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD ;-----------------------------------------（3分）

（1） -------------（3分）

（2）該四棱錐有兩個側面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC邊上的高為

, ---------------------（2分）

另兩個側面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,

AB邊上的高為 -------（2分）

因此 ------（2分）

18．

（1）由題意可得：=5---------------------------（2分）

由：得：=314--------（4分）

或：，

（2）方法一：由：或------（1分）

或--------（2分）

得：0.0110-------------------------------------------------------------（1分）

方法二：由：

得：----------------------------------------------------------------（1分）

由：點和點的縱坐標相等，可得點和點關于點對稱---（1分）

即：------------------------------------------------------------（1分）

得：0.011-----------------------------------------------------------------------（1分）

（理科二種解法各1分）

19．解：（1）、函數的定義域為R；----------------------------（1分）

當時；當時；當時；----------（1分）

所以，函數在定義域R上不是單調函數，----------------------（1分）

所以它不是“類函數” -----------------------------------------------------------（1分）

（2）函數在上單調遞增，--------------------------（2分）

要使它是“類函數”，即存在兩個不相等的常數，

使得同時成立，------------------------（1分）

即關于的方程有兩個不相等的實根，-------------------（2分）

，--------------------------------------------------------------（1分）

亦即直線與曲線在上有兩個不同的交點，-（2分）

所以，----------------------------------------------------------------------------（2分）

20．解：

（1）

若，由，得數列構成等比數列------------------（3分）

若，，數列不構成等比數列--------------------------------------（1分）

（2）由，得：-------------------------------------（1分）

---------------------------------------------------------（1分）

----------------------------------------------（1分）

----（1分）

------------------------------------------------------------------（1分）

---------------------------------------------------------------------（1分）

（3）

由：

得：----------------------------------------------------（2分）

---------------------------------------------（1分）

當時

所以，數列從第二項起單調遞增數列----------------------（2分）

當時，取得最小值為 -------------------------（1分）

21．解：

（1）雙曲線焦點坐標為，漸近線方程---（2分）

雙曲線焦點坐標，漸近線方程----（2分）

（2）

得方程: -------------------------------------------（1分）

設直線分別與雙曲線的交點、的坐標分別為，線段中點為坐標為

----------------------------------------------------------（1分）

得方程: ----------------------------------------（1分）

設直線分別與雙曲線的交點、的坐標分別為，線段中點為坐標為

---------------------------------------------------（1分）

由，-----------------------------------------------------------（1分）

所以，線段與不相等------------------------------------（1分）

（3）

若直線斜率不存在，交點總個數為4；-------------------------（1分）

若直線斜率存在，設斜率為，直線方程為

直線與雙曲線：

得方程: ①

直線與雙曲線：

得方程: ②-----------（1分）

的取值

直線與雙曲線右支的交點個數

交點總個數

1個（交點）

2個

1個（，）

2個

1個（與漸進線平行）

1個（理由同上）

2個

2個（，方程①兩根都大于2）

1個（理由同上）

3個

2個（理由同上）

1個（與漸進線平行）

3個

2個（理由同上）

2個（，方程②

兩根都大于1）

4個

得：-------------------------------------------------------------------（3分）

由雙曲線的對稱性可得：

的取值

交點總個數

2個

3個

4個

得：-------------------------------------------------------------------（2分）

綜上所述：（1）若直線斜率不存在，交點總個數為4；

（2）若直線斜率存在，當時，交點總個數為2個；當或時，交點總個數為3個；當或時，交點總個數為4個；---------------（1分）

上海市奉賢區2009年4月高考模擬考試

數學試題（文）

考生注意：

1.答卷前，考生務必在答題紙上將姓名、高考準考證號填寫清楚，并在規定的區域內貼上條形碼.

2.本試卷共有21道試題，滿分150分.考試時間120分鐘.

一、填空題（本大題滿分60分）本大題共有12題，只要求在答題紙相應題序的空格內直接填寫結果，每個空格填對得5分，否則一律得零分.

1．___________.

2．函數的定義域為__________ .

3．已知復數，則____________.

4．的值為

5．的展開式中的系數為 .

6．右圖給出的是計算的值的一個程序框圖，

其中判斷框內應填入的條件是__________.

7．計算：設向量，若向量與向量垂直，則實數 .

8．若直線與圓沒有公共點，則實數的取值范圍是___________.

9．在等差數列中，設，對任意，有則_____________.

第10題

11．如圖，目標函數僅在閉區域OACB的頂點C

處取得最小值，則的取值范圍是____________ .

12．拋一枚均勻硬幣，正面或反面出現的概率相同。

數列定義如下：，

設N*），那么的概率是______.

二．選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把答題紙上相應題序內的正確結論代號涂黑，選對得 4分，否則一律得零分.

13．輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方

圖如右圖所示，時速在的汽車大約有（）

A．輛 B．輛

C．輛 D．80輛

14．方程所表示的曲線不可能是（）

A．拋物線 B．圓

C．雙曲線 D．直線

15．“”是“對任意的正數，”的（）

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

16．下列條件中，不能確定A、B、C三點共線的是（）

A． B．

C． D．

三．解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙的規定區域（對應的題號）內寫出必要的步驟.

17．（本題滿分12分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分.

已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側視圖（或稱左視圖）是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形．

（1）求該幾何體的體積V；

（2）求該幾何體的側面積S

[解：]

20090521

18．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

如圖所示為電流強度（安培）隨時間（秒）變化的關系式是：（其中>0）的圖象。若點是圖象上一最低點

（1）求，；

（2）已知點、點在圖象上，點的坐標為，若點的坐標為，試用兩種方法求出的值。（精確到0.0001秒）

19．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分10分.

若函數同時滿足以下條件：

①它在定義域上是單調函數；

②存在區間使得在上的值域也是，我們將這樣的函數稱作“類函數”。

（1）函數是不是“類函數”？如果是，試找出；如果不是，試說明理由；

（2）求使得函數是“類函數”的常數的取值范圍。

20．（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.

已（）知數列的首項，若

（1）問數列是否構成等比數列，并說明理由；

（2）若已知設無窮數列的各項和為，求

（3）在（2）的條件下，設（），求數列的最小值

21．（本題滿分

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