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（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）化簡：．

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（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結果證明C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1；  
（Ⅲ）其實我們常借用構造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）¹+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=；，由左邊可求得x²的系數為C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²，利用右式可得x²的系數為C_n+1³，所以C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²=C_n+1³．請利用此方法證明：（C_2n）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ．

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一：選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案代號

C

A

A

C

C

B

A

B

二．填空題：   9 . 2       10、   11、  ，      12 . 60      

13、  2     14、(或) ， 兩條直線   15、  16    

1.C;        ,      

2、A；   顯然為奇函數，且單調遞增。于是 若，則，有，即，從而有.

反之，若，則,推出 ，即 。故選A。

3、A;     由 , 知   ;

4、C;     0

5、C;    

6、B;       

 ,  ;

7、A     把握住4，6，8三個面有一個共同的頂點這一個特點

8、B;    如下圖，設，，則．

由平行四邊形法則，知NP∥AB，所以＝，同理可得．故，選B．                          

9、2（略）

10、60；  力F（x）所作的功為

11、  從圖中看出  ,

所以選A

12、； 根據題中的信息，可以把左邊的式子歸納為從個球（n個白球，k個黑球）中取出m個球，可分為：沒有黑球，一個黑球，……，k個黑球等類，故有種取法。

13、2;   由已知得   ,  ,

解得 

14、;兩條直線；由 ,得 , ,

 ,;兩條直線

15、16； 由可化為xy =8+x+y,x，y均為正實數

 xy =8+x+y（當且僅當x=y等號成立）即xy-2-8

可解得,即xy16故xy的最小值為16。

三、解答題：

16、（本小題滿分12分）

解：

                                          ………………3分

（Ⅰ）函數的最小正周期，                  ………………5分

令，

∴函數的單調遞減區間為             …………7分

（Ⅱ）

                                                           ---------------12分

17、（本小題滿分14分）

解: 將一顆骰子先后拋擲2次，此問題中含有36個等可能基本事件-----------1分

（1）      記“兩數之和為8”為事件A，則事件A中含有5個基本事件，

所以P（A）=；

答：兩數之和為6的概率為。--------------------------------------- 4分

 （2）記“兩數之和是3的倍數”為事件B，則事件B中含有12個基本事件，

所以P（B）=；

答：兩數之和是3的倍數的概率為。-------------------------------7分

（2）      記“向上的兩數之積是6的倍數”為事件C，則事件C中含有其中的15個等可能基本事件，

所以P（C）=，

答：兩數之積是6的倍數的概率為。-------------------------------10分

（3）      基本事件總數為36，點（x，y），在圓x²+y²=25的內部記為事件D，則D包含13個事件，

所以P（D）=。

答：點(x,y)在圓x²+y²=25的內部的概率。----------------------14分

18、（本小題滿分13分）

解：，    -----------------2分

因為函數在處的切線斜率為-3，

所以，即，------------------------3分

又得。------------------------4分

（1）函數在時有極值，所以，-------5分

解得，------------------------------------------7分

所以．------------------------------------8分

（2）因為函數在區間上單調遞增，所以導函數在區間上的值恒大于或等于零，------------------------------------10分

則得，

所以實數的取值范圍為．----------------------------------13分

19、（本小題滿分13分）

解（Ⅰ）在中，，

在中，，

∵，

∴．---------------------------2分

∵平面平面，且交線為，

∴平面．

∵平面，∴．------------------------------------5分

（Ⅱ）設與相交于點，由（Ⅰ）知，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面，且交線為，---------7分

如圖19-2，作，垂足為，則平面，

連結，則是直線與平面所成的角．-------------------9分

由平面幾何的知識可知，∴．--------------11分

在中，，

在中，，可求得．∴．

------------------------------------------------------------------------13分

20、（本題滿分14分）

【解析】（I）因為邊所在直線的方程為，且與垂直，

所以直線的斜率為．又因為點在直線上，

所以邊所在直線的方程為．．-----------------3分

（II）由解得點的坐標為，          ------------4分

因為矩形兩條對角線的交點為．

所以為矩形外接圓的圓心．                         -----------------6分

又．

從而矩形外接圓的方程為．----------------------9分

（III）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，

所以，即．------------------------11分

故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支．

因為實半軸長，半焦距．

所以虛半軸長．

從而動圓的圓心的軌跡方程為． -----------------14分

21、（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）由題意    即

∴                                          ……………………2分

∴      ∵m>0且，∴m²為非零常數，

∴數列{a_n}是以m⁴為首項，m²為公比的等比數列                   …………4分

（Ⅱ）由題意，

當

∴   ①             …………6分

①式兩端同乘以2，得

  ②       …………7分

②－①并整理，得

   =

                     -----------------------------------------------10分

（Ⅲ）由題意

要使對一切成立，

即  對一切 成立，

①當m>1時，  成立；                   …………12分

②當0<m<1時，

∴對一切 成立，只需，

解得 ，  考慮到0<m<1，    ∴0<m< 

綜上，當0<m<或m>1時，數列{c_n   }中每一項恒小于它后面的項. ----------14分