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已知如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為，以頂點A為球心，2為半徑作一個球，則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和等于

[     ]

A.
B.
C.
D.π

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已知，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為，以頂點A為球心，2為半徑作一個球，球面被正方體的側面BCC₁B₁，ABB₁A₁截得的兩段弧分別為（如圖所示），則這兩段弧的長度之和等于    ．

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一、選擇題：（每小題5分，共60分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

C

A

B

C

D

C

B

C

B

A

二、填空題：（每小題5分，共20分）

13、  0.1；       14、__（0，1]_；     15、；     16、①④  ；

三、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17. (1)由得：，      ……………………………… 2分

即，    ……………… 4分

當時，，

　　因為，有，，得

 故     ……………………………    7分

(2)∵是奇函數，且將的圖象先向右平移個單位，再向上平移1個單位，可以得到的圖象，∴是滿足條件的一個平移向量．……10分

18. (Ⅰ)，……5分

（Ⅱ），……8分

，……10分

19.       (Ⅰ) ，的可能取值為1，2，3

∴   ∴，因此，隨機變量的最大值為3

……5分

（Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3，則……6分

，，，……9分

隨機變量的分布列（略）

……10分

20．(Ⅰ) 解法一：

（Ⅰ）證：由已知DF∥AB且DAD為直角，故ABFD是矩形，從而CDBF. ………..4分

又PA底面ABCD,CDAD，故知CDPD.在△PDC中，E、F分別PC、CD的中點，故EF∥PD,從而CDEF,由此得CD面BEF. 　　………..7分

（Ⅱ）連結AC交BF于G.易知G為AC的中點.連接EG,則在△PAC中易知EC∥PA.又因

PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，過C作GHBD,垂足為H,連接EH.由三垂線定理知EHBD.從而EHG為二面角E-BD-C的平面角. ………..10分

設AB=a,則在△PAC中，有

BG=PA=ka.

以下計算GH，考察底面的平面圖（如答(19)圖２）.連結GD.

因S_△CBD=BD?GH=GB?OF.故GH=.

在△ABD中，因為AB＝a,AD=2A,得BD=a　　　　　　　　　　

而GB=FB=AD-a.DF-AB,從而得GH== ＝因此tanEHG==………..12分

由k＞0知是銳角，故要使＞，必須＞tan=

解之得，k的取值范圍為k＞………..14分

解法二：

（Ⅰ）如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為：軸建立空間直角坐標系，設AB=a,則易知點A,B,C,D,F的坐標分別為

A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),

F(a,2a,0).

從而=(2a,0,0), =(0,2a,0), 　　　　

?=0,故  .

設PA=b,則P(0,0,b),而E為PC中點.故                 第（20）

?=0,故.

由此得CD面BEF.

（Ⅱ）設E在xOy平面上的投影為G，過G作GHBD垂足為H,由三垂線定理知EHBD.

從而EHG為二面角E-BD-C的平面角.

由PA＝k?AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).設H(x,y,0)，則=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),

由?=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a      ①

又因=(x,a,y,0),且與的方向相同，故＝，即2x+y=2a      ②

由①②解得x=a,y=a,從而＝，｜｜＝a.

tanEHG===.由k＞0知，EHC是銳角，由EHC＞得tanEHG＞tan即＞故k的取值范圍為k＞.

21．解：（1）由

    因直線相切，

，

    ∵橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，∴

    故所求橢圓方程為 …………4分

  （2）當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：

    當L與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：  

    由

    即兩圓相切于點（0，1）

    因此，所求的點T如果存在，只能是（0，1）…………8分

    事實上，點T（0，1）就是所求的點，證明如下．

    當直線L垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）

    若直線L不垂直于x軸，可設直線L：

    由

    記點、

    所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T（0，1）

    所以在坐標平面上存在一個定點T（0，1）滿足條件．…………12分

22. 解答：（1），由題意及導數的幾何意義得

，            �。�1）

，          （2）   ……2分

又，可得，即，故

由（1）得，代入，再由，得

， （3）  ……4分           

將代入（2）得，即方程有實根．

故其判別式得，或,        （4） 

由（3），（4）得；……6分   

（2）由的判別式，

知方程有兩個不等實根，設為，

又由知，為方程（）的一個實根，則有根與系數的關系得

， ……8分                   

當或時，，當時，，

故函數的遞增區間為，由題設知，

因此，由（Ⅰ）知得的取值范圍為；……10分                            

（3）由，即，即