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如圖，已知雙曲線C：的右準線l₁與一條漸近線l₂交于點M，F是雙曲線C的右焦點，O為坐標原點．
（I）求證：；
（II）若||=1且雙曲線C的離心率，求雙曲線C的方程；
（III）在（II）的條件下，直線l₃過點A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q且P在A、Q之間，滿足，試判斷λ的范圍，并用代數方法給出證明．

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如圖，已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右準線l₁與一條漸近線l₂交于點M，F是雙曲線C的右焦點，O為坐標原點．
（I）求證：

OM

⊥

MF

；
（II）若|

MF

|=1且雙曲線C的離心率e=

6

2

，求雙曲線C的方程；
（III）在（II）的條件下，直線l₃過點A（0，1）與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q且P在A、Q之間，滿足

AP

=λ

AQ

，試判斷λ的范圍，并用代數方法給出證明．

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如圖，F為雙曲線C：的右焦點，P為雙曲線C右支上一點，且位于x軸上方，M為左準線上一點，O為坐標原點。已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=λ|OF|，
（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率e與λ的關系式；
（Ⅱ）當λ=1時，經過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若|AB|=12，求此時的雙曲線方程。

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一、A；A；C；D；A；A； C；C；B； D；C；A

二、13、或； 14、80；  15、；16、 ；

17、解：⑴

………………………………………3分

時，由得函數的遞增區間為

時，由得函數的遞增區間為…………………………………………5分

⑵

……………………………………………7分

時，得：（舍）

時，得

綜上，……………………………………………………10分

18、解：用分別表示三列火車正點到達的事件，則

⑴恰有兩列火車正點到達的概率記為,則

……………………………………………4分

⑵三列火車正點的列數分別為。則

……………………………………………………………8分

…………………………10分

19．解：方法一：（I）證明：，

又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝BC，

平面ABCD ……2分

   在梯形ABCD中，可得

   ，即

    在平面ABCD內的射影為AO，                  ……4分

   （II）解：，且平面平面ABCD

    平面PBC， 平面PBC，

    為二面角P―DC―B的平面角                                 ……6分

    是等邊三角形即二面角P―DC―B的大小為 …8分

 （III）證明：取PB的中點N，連結CN， ①

    ，且平面平面ABCD，平面PBC  ……10分

    平面PAB    平面平面PAB  ②

     由①、②知平面PAB…………..10分

連結DM、MN，則由MN//AB//CD，，

得四邊形MNCD為平行四邊形，，平面PAB．

平面PAD    平面平面PAB ……………….12分

方法二：取BC的中點O，因為是等邊三角形，

    由側面底面ABCD    得底面ABCD ……1分

以BC中點O為原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O―xyz……2分

（I）證明：，則在直角梯形中，

    在等邊三角形PBC中，……3分

    ，即…4分

 （II）解：取PC中點N，則

    平面PDC，顯然，且平面ABCD

    所夾角等于所求二面角的平面角                         ……6分

 ，二面角的大小為             ……8分

（III）證明：取PA的中點M，連結DM，則M的坐標為

    又                                         ……10分

，

    即

平面PAB，平面平面PAB                           ……12分

20．解：Ⅰ由已知得： ……………………………………2分

當解得：…………………………………………3分

當時，，帶入上式得：

配方得：

所以……………………………………………5分

所以……………………………………7分

Ⅱ

………………………………………………………………9分

…………………11分

…………………………………………………………12分

21．解：（I）右準線，漸近線

    ，

                     ……3分

    （II）

雙曲線C的方程為：               ……7分

    （III）由題意可得                           ……8分

    證明：設，點

    由得

    與雙曲線C右支交于不同的兩點P、Q

                                ……11分

    ，得

的取值范圍是（0，1）                            ……13分

22．解：⑴；

當時，；

令，該二次函數的對稱軸為

當時，設，，則；

當時，要使在上是單調函數，只能為上的減函數

故函數在上滿足：

或，解得。綜上…………5分

⑵當時，；

當；當

所以…………………………………………………8分

⑶反證法：不妨設，由⑵知

所以

所以

所以；

因為時，這與上面的結論矛盾，故

同理……………………………………………13分