題目列表(包括答案和解析)
棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（ ）A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
A．
B．
C．
D．
一、1―12 BABCA BACAD AC
二、13．
14．
15．1 16．②④
三、解答題
17．解：（Ⅰ）依題意得
（2分）
∴
（4分）
（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，所以
的最小正周期為
（7分）
∵
， ∴
（8分）
∴
（10分）
∴
（11分）
所以函數的值域是
（12分）
18．解：（1）a取集合｛0，1，2，3｝中任一元素，b取集合｛0，1，2｝中任一元素
∴a、b的取值 情況有（0，0），（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0），
（2，1），（2，2），（3，0）（3，1）（3，2）其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值，基本事件總數為12.
設“方程
有兩個不相等的實根”為事件A，
當
時方程有兩個不相等實根的充要條件為
當時，
的取值有（1，0）（2，0）（2，1）（3，0）（3，1）（3，2）
即A包含的基本事件數為6.
∴方程有兩個不相等的實根的概率
（6分）
（2）∵a從區間［0，2］中任取一個數，b從區間［0，3］中任取一個數
則試驗的全部結果構成區域
這是一個矩形區域，其面積
設“方程沒有實根”為事件B
則事件B構成的區域為
即圖中陰影部分的梯形，其面積
由幾何概型的概率計算公式可得方程沒有實根的概率
（12分）
19．解：（1）判斷：
平面
（2分）
證明：
因在
中，
，
分別
是
的中點，有
（4分）
又因
平面，
平面 （5分）
所以
平面 （6分）
（2）過點作
于點
，面
面
，面
面
，而
面
，故
平面，
于是
是三棱錐
的高
（8分）
又
的面積為
（10分）
故三棱錐
的體積為
（12分）
20．解：（1）
時，
，∴
；
（2分）
當
時，
，∴
（4分）
∴通項公式
（6分）
，
（8分）
即
所以
（12分）
21．解：（1）因為、
為橢圓
的上、下焦點，所以
，設
。
所以
因為
所以
，整理可得
所以求動點
的軌跡
的方程為
（4分）
（2）（法一）設過點
所作曲線的切線斜率為
，則切線方程
由 
可得： 
，所以
或
（6分）
過點所作曲線的切線方程為
和
由 
和 
可分別解得：
和
所以直線
的方程的方程為：
（8分）
（法二）設過點所作曲線的兩切線的切點為
，
則 
記
則
，
則兩條切線的方程為
即：
和
即：
因為兩條切線均經過點，所以
且
所以，直線的方程的方程為：
（3）若
存在，不防設其坐標為
，過點所作曲線的切線斜率為，則切線方程為
，即
由
可得：
因為直線和拋物線相切，所以
（10分）
設兩條切線的斜率分別為
，則
因為
所以
所以 兩條切線垂直 所以
所以
所以 在直線
上是存在點
滿足題意。
（12分）
22．解：（1）由題設得
，
∵
，則 ∴
，
所以
（2分）
所以
對于任意實數
恒成立
∴ 
故
（3分）
（2）由
，求導數得
，
在
上恒單調，只需
或
在 上恒成立，即
或
恒成立，所以
或 
在上恒成立
（6分）
記
，可知：
，
∴ 
或
（8分）
（3）令
，則
令
，則
，列表如下：
－1
（－1，0）
0
（0，1）
1
＋
0
―
0
＋
0
―
遞增
極大值
遞減
極小值1
遞增
極大值
遞減
∴
時，無零點；
或
時，有兩個零點；
時有三個零點；
時，有四個零點
（14分）
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