題目列表(包括答案和解析)
已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，
點
是橢圓的一個頂點，△
是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點
分別作直線
，
交橢圓于
，
兩點，設兩直線的斜率分別為
，
，且
，證明：直線
過定點（
）．
已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，過的直線交橢圓于B，D兩點，過的直線交橢圓于A，C兩點，且
，垂足為P．
（Ⅰ）設P點的坐標為
，證明：
；
（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值．
，
，橢圓的離心率為
且經過點
．M為橢圓上的動點，以M為圓心，M
為半徑作圓M．
的左、右焦點分別為
，
， 點
是橢圓的一個頂點，△
是等腰直角三角形．
的方程；
是橢圓
上一動點，求線段
的中點
的軌跡方程；
分別作直線
，
交橢圓于
，
兩點，設兩直線的斜率分別為
， 
，且
，探究：直線
是否過定點，并說明理由. 
的左、右焦點分別為
，
， 點
是橢圓的一個頂點，△
是等腰直角三角形．
分別作直線
，
交橢圓于
，
兩點，設兩直線的斜率分別為
，
，且
，證明：直線
過定點（
）．一、選擇題
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．B 6．Ｃ
7．Ｄ 8．Ｃ 9．C 10．C
二、填空題
11．
12．
13．
14．2 15．30°
三、解答題
16．解：（Ⅰ）由
，根據正弦定理得
，所以
，
由
為銳角三角形得
．………………………………………………7分
（Ⅱ）根據余弦定理，得
．
所以，
．………………………………………………14分
17．解：（Ⅰ）記
表示事件：“位顧客中至少
位采用一次性付款”，則
表示事件：“位顧客中無人采用一次性付款”．
，
．………………………………………………7分
（Ⅱ）記
表示事件：“位顧客每人購買件該商品，商場獲得利潤不超過
元”．
表示事件：“購買該商品的位顧客中無人采用分期付款”．
表示事件：“購買該商品的位顧客中恰有位采用分期付款”．
則
．
，
．
．……………………………………14分
18．解法一：（1）作
，垂足為
，連結
，由側面
底面
，得
底面．
因為
，所以
，又
，故
為等腰直角三角形，
，
由三垂線定理，得
．………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
依題設
，
故
，由
，
，
．
又
，作
，垂足為
，
則
平面
，連結
．
為直線
與平面所成的角．
所以，直線與平面所成角的正弦值為
．………………………………………………14分
解法二：（Ⅰ）作，垂足為，連結，由側面底面，得平面．
因為，所以．
又，為等腰直角三角形，
．
如圖，以為坐標原點，
為
軸正向，建立直角坐標系
，
因為
，
，
又
，所以
，
，
．
，
，
，
，所以．…………………7分
（Ⅱ）
，
.
與
的夾角記為
，與平面
所成的角記為
，因為為平面的法向量，所以與互余．
，
，
所以，直線與平面所成角的正弦值為．………………………14分
19．解：（Ⅰ）
，
因為函數
在
及
取得極值，則有
，
．
即
解得
，
．………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
，
．
當
時，
；
當
時，
；
當
時，．
所以，當時，取得極大值
，又
，
．
則當
時，的最大值為．
因為對于任意的，有
恒成立，
所以 
，
解得 
或
，
因此
的取值范圍為
．………………………14分
20．解：（Ⅰ）設
的公差為
，
的公比為
，則依題意有
且
解得
，
．
所以
，
．………………………6分
（Ⅱ）
．
，①
，②
②－①得
，
．………………………12分
21．證明：（Ⅰ）橢圓的半焦距
，
由
知點
在以線段
為直徑的圓上，
故
，
所以，
．………………………6分
（Ⅱ）（?）當
的斜率
存在且
時，的方程為
，代入橢圓方程
，并化簡得
．
設
，
，則
，
，
；
因為
與
相交于點
，且的斜率為
．
所以，
．
四邊形的面積
．
當
時，上式取等號．………………………10分
（?）當的斜率
或斜率不存在時，四邊形的面積
．……………………11分
綜上，四邊形的面積的最小值為
．………………………12分
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