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已知一個正三棱錐的三條側棱兩兩垂直且相等，底面邊長為，則該三棱錐的外接球的表面積是（   ）

A．

B．

C．

D．

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已知一個正三棱錐的三條側棱兩兩垂直且相等，底面邊長為，則該三棱錐的外接球的表面積是（   ）

A．

B．

C．

D．

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一.   選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

D

B

A

A

D

C

D

A

C

C

B

1．.因所以對應的點在第四象限，

2．.因，

3．.令，則，

4．.

5. . ，，…，

6．D.  函數

7． .由題知,垂足的軌跡為以焦距為直徑的圓,則

又,所以

8．. 常數項為

9. A.

10．. 解：①③④正確，②錯誤。易求得、到球心的距離分別為3、2，若兩弦交于，則⊥，中，有，矛盾。當、、共線時分別取最大值5最小值1。

11. . 一天顯示的時間總共有種,和為23總共有4種,故所求概率為.

12．. 解：當時，顯然不成立

當時，因當即時結論顯然成立；

當時只要即可

即

則

二.   填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。

13.        14.         15.       16. B、D

13. 由已知得,則

14．

15.

16． 解：真命題的代號是：   BD  。易知所盛水的容積為容器容量的一半，故D正確，于是A錯誤；水平放置時由容器形狀的對稱性知水面經過點P，故B正確；C的錯誤可由圖1中容器位置向右邊傾斜一些可推知點P將露出水面。

三.   解答題：本大題共6小題，共74分。

17.解：由得

∴   ∴

∴，又

∴

由得

即   ∴

由正弦定理得

18.解：（1）的所有取值為

的所有取值為,

、的分布列分別為：

0.8

0.9

1.0

1.125

1.25

P

0.2

0.15

0.35

0.15

0.15

0.8

0.96

1.0

1.2

1.44

P

0.3

0.2

0.18

0.24

0.08

（2）令A、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產量超過災前產量這一事件，

,

可見，方案二兩年后柑桔產量超過災前產量的概率更大

（3）令表示方案所帶來的效益，則

10

15

20

P

0.35

0.35

0.3

10

15

20

P

0.5

0.18

0.32

所以

可見，方案一所帶來的平均效益更大。

19．解：（1）設的公差為，的公比為，則為正整數，

，

依題意有①

由知為正有理數，故為的因子之一，

解①得

故

（2）

∴

20．解 ：（1）證明：依題設，是的中位線，所以∥，

則∥平面，所以∥。

又是的中點，所以⊥，則⊥。

因為⊥，⊥，

所以⊥面，則⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，連。因為⊥平面，

根據三垂線定理知，⊥，

就是二面角的平面角。

作⊥于，則∥，則是的中點，則。

設，由得，，解得，

在中，，則，。

所以，故二面角為。

解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則

所以

所以

所以平面

由∥得∥，故：平面

(2)由已知設

則

由與共線得:存在有得

同理:

設是平面的一個法向量,

則令得 

又是平面的一個法量

所以二面角的大小為

（3）由（2）知，，，平面的一個法向量為。

則。

則點到平面的距離為

21．證明：（1）設，由已知得到，且，，

設切線的方程為：由得

從而,解得

因此的方程為：

同理的方程為：

又在上，所以，

即點都在直線上

又也在直線上,所以三點共線

（2）垂線的方程為：，

由得垂足，

設重心

所以     解得

由 可得即為重心所在曲線方程

22．解：、當時，，求得 ，

于是當時，；而當 時，．

即在中單調遞增，而在中單調遞減．    

（2）.對任意給定的，，由 ，

若令 ，則   … ① ，而     …  ②

（一）、先證；因為，，，

又由  ，得 ．

所以

．

（二）、再證；由①、②式中關于的對稱性，不妨設．則

（?）、當，則，所以，因為 ，

，此時．

 （?）、當 …③，由①得 ,，，

因為   所以   … ④

 同理得 …  ⑤ ，于是   … ⑥

今證明   …  ⑦, 因為  ，

只要證  ，即 ，也即 ，據③，此為顯然．

 因此⑦得證．故由⑥得 ．

綜上所述，對任何正數，皆有．