題目列表(包括答案和解析)
對于每項均是正整數的數列A:a1,a2,…,an,定義變換T1，T1將數列A變換成數列T1A．：n,a1-1,a2-1,…,an-1.
對于每項均是非負整數的數列B：b1,b2, …,bm,定義變換T2，T2將數列B各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數列T2（B）：又定義
S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b21+b22+…+b2m.
設A0是每項均為正整數的有窮數列，令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2, …)
（Ⅰ）如果數列A0為5，3，2，寫出數列A1,A2；
（Ⅱ）對于每項均是正整數的有窮數列A，證明S（T1A．）=SA．；
（Ⅲ）證明：對于任意給定的每項均為正整數的有窮數列A0，存在正整數K，當k≥K時，S(Ak+1)=S(Ak).
對于每項均是非負整數的數列B：b1,b2, …,bm,定義變換T2，T2將數列B各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數列T2（B）：又定義
S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b21+b22+…+b2m.
設A0是每項均為正整數的有窮數列，令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2, …)
（Ⅰ）如果數列A0為5，3，2，寫出數列A1,A2；
（Ⅱ）對于每項均是正整數的有窮數列A，證明S（T1（A））=S（A）；
（Ⅲ）證明：對于任意給定的每項均為正整數的有窮數列A0，存在正整數K，當k≥K時，S(Ak+1)=S(Ak).
20．（本小題共13分）
對于每項均是正整數的數列
，定義變換
，將數列
變換成數列
．
對于每項均是非負整數的數列
，定義變換
，將數列
各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數列
；
又定義
．
設
是每項均為正整數的有窮數列，令
．
（Ⅰ）如果數列為5，3，2，寫出數列
；
（Ⅱ）對于每項均是正整數的有窮數列，證明
；
（Ⅲ）證明對于任意給定的每項均為正整數的有窮數列，存在正整數
，當
時，
．
（08年北京卷理）（本小題共13分）
對于每項均是正整數的數列
，定義變換
，將數列
變換成數列
．
對于每項均是非負整數的數列
，定義變換
，將數列
各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數列
；又定義
．
設
是每項均為正整數的有窮數列，令
．
（Ⅰ）如果數列為5，3，2，寫出數列
；
（Ⅱ）對于每項均是正整數的有窮數列，證明
；
（Ⅲ）證明：對于任意給定的每項均為正整數的有窮數列，存在正整數
，當
時，
．
（08年北京卷理）（本小題共13分）
對于每項均是正整數的數列
，定義變換
，將數列
變換成數列
．
對于每項均是非負整數的數列
，定義變換
，將數列
各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數列
；又定義
．
設
是每項均為正整數的有窮數列，令
．
（Ⅰ）如果數列為5，3，2，寫出數列
；
（Ⅱ）對于每項均是正整數的有窮數列，證明
；
（Ⅲ）證明：對于任意給定的每項均為正整數的有窮數列，存在正整數
，當
時，
．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9．
10．
11．5 10 12．
13．② 14．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
15．（共13分）
解：（Ⅰ）
．
因為函數
的最小正周期為
，且
，
所以
，解得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
因為
，
所以
，
所以
，
因此
，即的取值范圍為
．
16．（共14分）
解法一：
（Ⅰ）取
中點
，連結
．
，
．
，
．
，
平面
．
平面，
．
（Ⅱ），
，
．
又
，
．
又
，即
，且
，
平面
．
取
中點
．連結
．
，
．
是
在平面內的射影，
．
是二面角
的平面角．
在
中，
，
，
，
．
二面角的大小為
．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
平面，
平面
平面．
過
作
，垂足為
．
平面
平面
，
平面
．
的長即為點到平面的距離．
由（Ⅰ）知
，又，且
，
平面
．
平面，
．
在
中，
，
，
．
．
點到平面的距離為
．
解法二：
（Ⅰ），，
．
又，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ）如圖，以為原點建立空間直角坐標系
．
則
．
設
．
，
，
．
取中點，連結．
，
，
，
．
是二面角的平面角．
，
，
，
．
二面角的大小為
．
（Ⅲ）
，
在平面內的射影為正
的中心，且
的長為點到平面的距離．
如（Ⅱ）建立空間直角坐標系．
，
點的坐標為
．
．
點到平面的距離為．
17．（共13分）
解：（Ⅰ）記甲、乙兩人同時參加
崗位服務為事件
，那么
，
即甲、乙兩人同時參加崗位服務的概率是
．
（Ⅱ）記甲、乙兩人同時參加同一崗位服務為事件，那么
，
所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是
．
（Ⅲ）隨機變量
可能取的值為1，2．事件“
”是指有兩人同時參加崗位服務，
則
．
所以
，的分布列是
1
3
18．（共13分）
解：
．
令
，得
．
當
，即
時，
的變化情況如下表：
0
當
，即
時，的變化情況如下表：
0
所以，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
在上單調遞減．
當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．
當
，即
時，
，所以函數在上單調遞減，在上單調遞減．
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由題意得直線
的方程為
．
因為四邊形
為菱形，所以
．
于是可設直線
的方程為
．
由
得
．
因為
在橢圓上，
所以
，解得
．
設兩點坐標分別為
，
則
，
，
，
．
所以
．
所以的中點坐標為
．
由四邊形為菱形可知，點在直線上，
所以
，解得
．
所以直線的方程為
，即
．
（Ⅱ）因為四邊形為菱形，且
，
所以
．
所以菱形的面積
．
由（Ⅰ）可得
，
所以
．
所以當
時，菱形的面積取得最大值
．
20．（共13分）
（Ⅰ）解：
，
，
；
，
．
（Ⅱ）證明：設每項均是正整數的有窮數列為
，
則
為
，
，
，
，
，
從而
．
又
，
所以
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