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如圖，已知△ABC中，AB=a，點D在AB邊上移動（點D不與A、B重合），DE∥BC，交AC于E，連接CD．設S_△ABC=S，S_△DEC=S₁．
（1）當D為AB中點時，求S₁：S的值；
（2）若AD=x，

S1

S

=y，求y關于x的函數關系式及自變量x的取值范圍；
（3）是否存在點D，使得S1＞

1

4

S成立？若存在，求出D點位置；若不存在，請說明理由．

如圖，直角梯形ABCD的腰BC所在直線的解析式為y=-

3

x-6

3

，點A與坐標原點O重合，點D的坐標為（0，-4

3

），將直角梯形ABCD繞點O順時針旋轉180°，得到直角梯形OEFG（如圖1）．
（1）直接寫出E，F兩點的坐標及直角梯形OEFG的腰EF所在直線的解析式；
（2）將圖1中的直角梯形ABCD先沿x軸向右平移到點A與點E重合的位置，再讓直角頂點A緊貼著EF，向上平移直角梯形ABCD（即梯形ABCD向上移動時，總保持著AB∥FG），當點A與點F重合時，梯形ABCD停止移動．觀察得知：在梯形ABCD移動過程中，其腰BC始終經過坐標原點O．（如圖2）
①設點A的坐標為（a，b），梯形ABCD與梯形OEFG重合部分的面積為S，試求a與何值時，S的值恰好等于梯形OEFG面積的

5

16

；
②當點A在EF上滑動時，設AD與x軸的交點為M，試問：在y軸上是否存在點P，使得△PAM是底角為30°的等腰三角形？如果存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．（利用圖3進行探索）

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與y軸相交于點C（0，3），與x軸的兩個交點分別為A（-1，0）、B（3，0），頂點為D．連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在點P，使得四邊形PEDF為平行四邊形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）設點P的橫坐標為m，△BCF的面積為S，求S關于m的函數關系式及S的最大值．