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（2013•深圳一模）如圖1，⊙O的直徑AB=4，點C、D為⊙O上兩點，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F為

BC

的中點．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．
（1）求證：OF∥平面ACD；
（2）求二面角C-AD-B的余弦值；
（3）在

BD

上是否存在點G，使得FG∥平面ACD？若存在，試指出點G的位置，并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值；若不存在，請說明理由．

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一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

A

C

B

B

C

D

C

A

C

D

A

二、填空題：

13.           14.         15.     2個      16.       

三、解答題：

17.解：（1）

               ……………………3分

又         即 

                            …………………5分

（2）    

又  是的充分條件        解得     ………12分

18.由題意知，在甲盒中放一球概率為時，在乙盒中放一球的概率為  …2分

①當時，，的概率為               ………4分

②當時，，又，所以的可能取值為0，2，4

（?）當時，有，，它的概率為    ………6分

（?）當 時，有 ， 或 ，

它的概率為

（?）當時，有或

     它的概率為

故的分布列為

0

2

4

P

 的數學期望        …………12分

19.解：（1） 連接 交 于點E，連接DE， ,

 四邊形 為矩形， 點E為 的中點，

       平面                 ……………6分

（2）作于F，連接EF

，D為AB中點，，

     ,  EF為BE在平面內的射影

又為二面角的平面角.

設     

又二面角的余弦值  ………12分

20.（1）據題意的

                        ………4分

                      ………5分

（2）由（1）得：當時，

     當時，，為增函數

    當時，為減函數

當時，      …………………………8分

當時，

當時，

當時，                   …………………………10分

綜上知：當時，總利潤最大，最大值為195  ………………12分

21.解：（1）由橢圓定義可得，由可得

，而

解得                                   ……………………4分

（2）由，得，

解得或（舍去）     此時

當且僅當時，得最小值，

此時橢圓方程為         ………………………………………8分

（3）由知點Q是AB的中點

設A,B兩點的坐標分別為，中點Q的坐標為

則，兩式相減得

      AB的中點Q的軌跡為直線①

且在橢圓內的部分

又由可知，所以直線NQ的斜率為，

方程為②

①②兩式聯立可求得點Q的坐標為

點Q必在橢圓內          解得

又              …………………………………12分

22.解：（1）由，得

令，有

又

（2）證明：

為遞減數列

當時，取最大值          

由（1）中知     

綜上可知

（3）

欲證：即證

即，構造函數

當時，

函數在內遞減

在內的最大值為

當時，

又      

不等式成立