在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A（-2,0）和點B，與y軸交于點C（0,），線段AC上有一動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向點C移動，線段AB上有另一個動點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度向點A移動，兩動點同時出發，設運動時間為t秒.
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在整個運動過程中，是否存在某一時刻，使得以A，P，Q為頂點的三角形與△AOC相似?如果存在，請求出對應的t的值;如果不存在，請說明理由.
（3）在y軸上有兩點M（0，m）和N（0，m+1），若要使得AM+MN+NP的和最小，請直接寫出相應的m、t的值以及AM+MN+NP的最小值.

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=x²+bx+c經過點A、B．
（1）求拋物線的表達式．
（2）如果點P由點A開始沿AB邊以2cm/s的速度向點B移動，同時點Q由點B開始沿BC以1cm/s的速度向點C移動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．
①移動開始后，是否存在某一時刻t，使得以O、A、P為頂點的三角形與△BPQ相似，若存在，請求出此時t的值，若不存在，請說明理由．
②移動開始后第t秒時，設S=PQ²（cm²），當S取得最小值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存在，請說明理由．
（3）若此拋物線上有一點D（3，），在拋物線的對稱軸上求點M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點M的坐標．