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把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF 疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O 重合，其中∠ABC=∠DEF=90^。，∠C=∠F=45^。，AB=DE=4把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q。
（1）如圖1，當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ，此時AP﹒CQ的值為（    ）。將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉，設旋轉角為α。 其中0^。<α<90^。 ，則 AP﹒CQ的值是否會改變？答：（   ）（填“會”或“不會”）此時AP﹒CQ的值為（     ）（不必說明理由）
（2）在（1）的條件下，設CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數關系式.（圖2、圖3供解題用）
（3）在（1）的條件下，PQ能否與AC平行？若能，求出y的值；若不能，試說明理由。

直線CD經過∠BCA的頂點C，CA=CB，E、F是直線CD上兩點，∠BEC=∠CFA=∠α。
（1）若直線CD經過∠BCA的內部，且點E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題：
①如圖（1），若∠BCA=90°，∠α=90°，則EF______|BE-AF|（填 “<”“>”或“=”）；
②如圖（2），當0°<∠BCA< 180°時，若使①中的結論仍然成立，則∠α與∠BCA應滿足的關系是____；
（2）如圖（3），若直線CD經過∠BCA的外部，且∠α=∠BCA，請探究EF、BE、AF三條線段的數量關系，并給予證明。

某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下：設∠BAC=θ（0°<θ<90°）現把小棒依次擺放在兩射線AB、AC之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上，
活動一：如圖甲所示，從點A₁開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點處互相垂直，A₁A₂為第1根小棒，數學思考：   
（1）小棒能無限擺下去嗎？答：（     ）（填“能”或“不能”）
（2）設AA₁= A₁A₂= A₂A₃=1.    
 ①θ=（     ）；  
 ②若記小棒A_2n-1A_2n的長度為a_n（n 為正整數，如A₁A₂ =a，A₃A₄=a₂），
求此時a₂，a₃ 的值，并直按寫出a_n（用含n 的式子表示）                           
活動二：如圖乙所示，從點A₁開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A_lA₂為第1根小棒，
且A_lA₂=AA₁ ，數學思考：    
（3）若已經向右擺放了3根小棒，則θ₁ =（     ）；θ₂ =（     ）；θ₃ =（     ）；（用含θ的式子表示）
（4）若只能擺放4根小棒，求θ的范圍。

設一個銳角與這個角的補角的差的絕對值為α，則