題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)已知向量a＝(cosx,2)，b＝(sinx，－3)．
(1)當a∥b時，求3cos2x－sin2x的值；
(2)求函數f(x)＝(a－b)·a在x∈[－，0]上的值域．
(本小題滿分12分)已知向量a＝(cosx,2)，b＝(sinx，－3)．
(1)當a∥b時，求3cos2x－sin2x的值；
(2)求函數f(x)＝(a－b)·a在x∈[－，0]上的值域．
（本小題滿分12分）已知f (x)＝
·
－1，其中向量＝（
sin2x，cosx），＝（1，2cosx）（x∈R）
（Ⅰ）求f (x)的單調遞減區間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，f (A)＝2，a＝
，b＝，
求邊長c的值。
1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D
13.270 14. 15. 16.
17.解：(1)a?b＝cosx?cos－sinx?sin＝cos 2x.2分
|a＋b|＝＝＝2.4分
又∵x∈[0，]，∴cos x＞0，∴|a＋b|＝2cos x.5分
(2)f(x)＝cos 2x－4λcos x，
即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.6分
①當0≤λ≤1時，當且僅當cos x＝λ時，f(x)取得最小值－1－2λ2，
∴－1－2λ2＝－，解得λ＝.8分
②當λ＞1時，當且僅當cos x＝1時，f(x)取得最小值1－4λ，
∴1－4λ＝－，解得λ＝(舍).10分
③當λ＜0時，當且僅當cos x＝0時，f(x)取得最小值－1，無解.11分
綜上所述，λ＝為所求.12分
18.解：(1)設箱子內裝著n個寫有數字“
則＝.2分
解得n＝4.4分
∴該箱子內裝有4個寫有數字“08”的球.
(2)當游戲結束時，總取球數為1的概率是；6分
當游戲結束時，總取球數為2的概率是×＝；8分
當游戲結束時，總取球數為3的概率是××＝；10分
∴當游戲結束時，總取球數不多于3的概率是.12分
19.解：(1)延長CG交AB于N，∵G是△ABC的重心，∴N是AB的中點.1分
∵∠ACB＝90°，∴CN＝AB＝6，∴CG＝CN＝4.2分
而DC⊥平面ABC，∴三角形DCG是等腰直角三角形，
即直線DG與平面ABC所成的角為45°.4分
(2)作ME∥GC交DC于E，∴∠EMB是異面直線GC與BM所成的角或補角.5分
∵M是DG的中點，ME＝GC＝2，
BE＝＝＝2.6分
過M作MH⊥GC于H，MH⊥平面ABC，∴MH＝2，
∴MB2＝MH2＋HB2＝4＋4＋36－2?2?6?cos 60°＝32，
∴cos∠EMB＝＝－.7分
∴異面直線GC與BM所成的角為arccos.8分
(2)過B作直線BF⊥GC于F， BF⊥平面GMC.9分
∵△CNB是正三角形，故BF＝BCcos 30°＝3，過F作FS⊥MC于S，連BS，三角形DCG是等腰直角三角形.10分
M為GD的中點，∴GD⊥CM，
∴FS∥GD，FS＝FCsin 45°＝.11分
∴tan∠FSB＝＝，
∴二面角B―MC―G的大小是arctan.12分
20.解：(1)由函數f(x)＝－x4＋x3＋ax2－2x－2在區間[－1,1]上是單調遞減，在區間[1,2]上單調遞增，所以x＝1取得極小值.1分
∴f′(1)＝0，∴－1＋2＋
∴a＝.4分
(2)由(1)知f(x)＝－x4＋x3＋x2－2x－2，
∴f′(x)＝－x3＋2x2＋x－2.5分
令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，x＝2.6分
∴函數f(x)有極大值f(－1)＝－，f(2)＝－，極小值f(1)＝－.8分
∵關于x的方程f(2x)＝m有三個不同的實數解，令2x＝t(t＞0)，
即關于t的方程f(t)＝m在t∈(0，＋∞)上有三個不同的實數解.9分
在t∈(0，＋∞)上y＝f(t)與y＝f(x)圖象一致.11分
又f(0)＝－2，由數形結合可知，－＜m＜－.12分
21.解：(1)由An＝(an－1)，An＋1＝(an＋1－1).1分
∴an＋1＝(an＋1－an)，即＝3，2分
且a1＝A1＝(a1－1)，
得a1＝3.3分
∴數列{an}是以3為首項，3為公比的等比數列.4分
通項公式為an＝3n.5分
(2)不妨設數列{dn}中的第n項分別是數列{an}的第p項和數列{bn}的第q項，即3p＝4q＋3.6分
所以(4－1)p＝4q＋3.7分
∴C4p＋C4p－1(－1)1＋…＋C4?(－1)p－1＋C(－1)p＝4q＋3.8分
4q＝4k＋(－1)p－3，(k∈Z，p，q∈Z*).9分
p為奇數，當p＝1時，q＝0(舍去).10分
∴p＝2n＋1，所以dn＝a2n＋1＝32n＋1.12分
22.解：(1)由|PF1|－|PF2|＝2＜|F
故軌跡S的方程為x2－＝1(x≥1).4分
(2)當直線l的斜率存在時，設直線方程為y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)與雙曲線方程聯立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.5分
∴解得k2＞3.6分
∵?＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)
＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2
＝＋m2.7分
∵MP⊥MQ，∴?＝0，
故得3(1－m2)＋k2(m2－
∴解得m＝－1.8分
當m＝－1時，MP⊥MQ，當直線l的斜率不存在時，由P(2,3)，Q(2，－3)及M(－1,0)知結論也成立.
綜上，當m＝－1時，MP⊥MQ.9分
(3)∵a＝1，c＝2，∴x＝是雙曲線的右準線.10分
由雙曲線定義得：|PA|＝|PF2|＝|PF2|，|QB|＝|QF2|.
(法一)∴λ＝＝
＝＝＝11分
∵k2＞3，∴0＜＜ ，故＜λ＜.12分
注意到直線的斜率不存在時，|PQ|＝|AB|，此時，λ＝.13分
綜上，λ∈[，).14分
(法二)設直線PQ的傾斜角為θ，由于直線PQ與雙曲線右支有二個交點，
∴＜θ＜，過Q作QC⊥PA，垂足為C，則∠PQC＝|－θ|，
∴λ＝＝＝＝.12分
由＜θ＜得，＜sin θ≤1，故λ∈[，].14分
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