已知一次函數y=x+2的圖象分別交x軸，y軸于A、B兩點，⊙O₁過以OB為邊長的正方形OBCD的四個頂點，兩動點P、Q同時從點A出發在四邊形ABCD上運動，其中動點P以每秒個單位長度的速度沿A→B→A運動后停止；動點Q以每秒2個單位長度的速度沿A→O→D→C→B運動，AO₁交y軸于E點，P、Q運動的時間為t（秒）．
（1）直接寫出E點的坐標和S_△ABE的值；
（2）試探究點P、Q從開始運動到停止，直線PQ與⊙O₁有哪幾種位置關系，并指出對應的運動時間t的范圍；
（3）當Q點運動在折線AD→DC上時，是否存在某一時刻t使得S_△APQ：S_△ABE=3：4？若存在，請確定t的值和直線PQ所對應的函數解析式；若不存在，說明理由．