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定義：P，Q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段PQ長度的最小值叫做線段與線段的距離，已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角系中四點。
（1）根據上述定義，當m=2，n=2時，如圖1，線段BC與線段OA的距離是_____，
當m=5，n=2時，如圖2，線段BC與線段OA的距離（即線段AB的長）為______；
（2）如圖3，若點B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關于m的函數解析式；
（3）當m的值變化時，動線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點為M。
①求出點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長；
②點D的坐標為（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x軸，垂足為H，是否存在m的值，使以A，M，H為頂點的三角形與△AOD相似，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由。