題目列表(包括答案和解析)
| n4 |
| a2 |
| p4 |
| b2 |
| q4 |
| c2 |
|
| π |
| 4 |
| 2 |
| OA |
| OB |
| n4 |
| a2 |
| p4 |
| b2 |
| q4 |
| c2 |
|
| π |
| 4 |
| 2 |
| OA |
| OB |
．
（t為非零常數，θ為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為
．
（其中O為坐標原點）？若存在，請求出；否則，請說明理由．已知函數
的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當
時，
，令
得
，結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定，得到極值和最值
第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設
，則
，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
（Ⅰ）當時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當時，，令得
當
變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值為2.
②當
時, 
.當
時, 
,最大值為0；
當
時, 在
上單調遞增。∴在最大值為
。
綜上，當
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為2；
當
時，即
時，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設，則，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上
|
| π |
| 4 |
| 2 |
| OA |
| OB |
一、 填空題（48分）
1、4 2、（理）20（文）
3、
4、
5、
6、
7、（理）
（文）4 8、6 9、
10、
11、如
12、
二、 選擇題（16分）
13、B 14、B 15、C 16、A
三、 解答題（86分）
17、（12分）（1）
，則
……………………… （6分）
（2）
………………………………………（9分）
…………………………………………………………（12分）
18、（12分）（1）它是有一條側棱垂直于底面的四棱錐
…………………………………………………………（6分）
（注：評分注意實線、虛線；垂直關系；長度比例等）
（2）由題意，
，則
，
，
∴需要3個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體
…（12分）
19、（14分）
（1）拋物線的焦點為（1，0） ……………………………………………………（2分）
設橢圓方程為
，則
∴橢圓方程為
……………………………………………（6分）
（2）設
，則
………………（8分）
① 當
時，
，即
時，
；
② 當
時，
，即
時，
；
綜上，
。……………………………………（14分）
（注：也可設
解答，參照以上解答相應評分）
20、（14分）
（1）設當天的旅游收入為L，由
得
……………………………（2分）
由
，知
…………………………………………（4分）
，得
。
即當天的旅游收入是20萬到60萬。……………………………………………（7分）
（2）則每天的旅游收入上繳稅收后不低于220000元
由
（
）得；
由
（
）得
；
∴
………………………………………………………………………（11分）
代入可得
∴
即每天游客應不少于1540人。……………………………………………………（14分）
21、（16分）
（1） 由
，得
則
故
（4分）
（2） 由
，得
即
∴
，所以
是不唯一的。……………………………………（10分）
（3）
，
，
；
∴
…………………………………………（12分）
（文）………………………………………………………………………………（16分）
（理）一般地，對任意復數
，有
。
證明：設
，
，
∴。…………………………………………………（16分）
22、（18分）
（1）
………………………………………………………………（6分）
（2）由
解得
即
解得
…………………………………（12分）
（3） 由
，
又
，
當
時，
，
，
∴對于
時，
，命題成立。………………（14分）
以下用數學歸納法證明對
，且
時，都有
成立
假設
時命題成立，即
，
那么
即
時，命題也成立。
∴存在滿足條件的區(qū)間。………………………………（18分）
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單調遞減