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設離心率的橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是x軸正半軸上一點，以PF₁為直徑的圓經過橢圓M短軸端點，且該圓和直線相切，過點P的直線與橢圓M相交于相異兩點A、C．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若相異兩點A、B關于x軸對稱，直線BC交x軸與點Q，求的取值范圍．

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設離心率的橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是x軸正半軸上一點，以PF₁為直徑的圓經過橢圓M短軸端點，且該圓和直線相切，過點P直線橢圓M相交于相異兩點A、C．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若相異兩點A、B關于x軸對稱，直線BC交x軸與點Q，求Q點坐標．

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（本題滿分13分）
設橢圓的左、右焦點分別為F₁與F₂，直線過橢圓的一個焦點F₂且與橢圓交于P、Q兩點，若的周長為。
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C經過伸縮變換變成曲線，直線與曲線相切且與橢圓C交于不同的兩點A、B，若，求面積的取值范圍。（O為坐標原點）

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

D

B

C

C

B

C

D

A

D

A

B

二、填空題

13．24    14.        15.     16.    ①④   

三、解答題

17． 解：（Ⅰ）因為各組的頻率和等于1,故第四組的頻率：

……4分

直方圖如右所示……………          

   （Ⅱ）依題意，60及以上的分數所在的第三、四、五、六組，

頻率和為

所以，抽樣學生成績的合格率是%..........................6分

   （Ⅲ），， ，”的人數是9，18,15,3。所以從成績是60分以上（包括60分）的學生中選一人，該生是優秀學生的概率是

 ……………………………………………………10分

18．（Ⅰ）證法一：取的中點G,連結FG、AG,

依題意可知：GF是的中位線，

則  GF∥且，

      AE∥ 且,

所以GF∥AE,且GF=AE,即四邊形AEFG為平行四邊形，………3分

則EF∥AG,又AG平面，EF平面,

所以EF∥平面.                            ………6分

證法二：取DC的中點G，連結FG,GE.

∵∥，平面, GF平面∴FG∥平面.………3分

同理：∥平面,且,∴平面EFG∥平面,平面,

∴EF∥平面.                                        ………6分

證法三：連結EC延長交AD于K，連結, E、F分別CK、CD₁的中點，

所以   FE∥D₁K                                    ……3分

∵FE∥D₁K,平面， 平面,∴EF∥平面.………6分

   （Ⅱ）解：.

.

∴的值為1.   ………12分

19．解：（1）

    ………3分

∵角A為鈍角，

                 ………………4分

取值最小值，

其最小值為……………………6分

   （2）由………………8分

       ,

…………10分

在△中，由正弦定理得：   ……12分

20．解：（1）

由題意得，經檢驗滿足條件。      …………2分

（2）由（1）知…………4分

令（舍去）…                   ……………6分

當x變化時，的變化情況如下表：

x

－1

(－1,0)

0

（0，1）

1

－

0

+

－1

ㄋ

－4

ㄊ

－3

             ……………9分

∵關于x的方程上恰有兩個不同的實數根，

                                        …………12分

21．解：⑴設動點的坐標為P(x,y),則＝(x,y－2)，＝(x,y+2)，＝(2－x,－y)

∵?＝m||²，

∴x²+y²－4＝m[(x－2)²+y²] 

即(1－m)x²+(1－m)y²+4mx－4m－4=0，                      ………3分

若m=1，則方程為x=2，表示過點（2，0）且平行于y軸的直線；   ………4分

若m≠1，則方程化為：，表示以(,0)為圓心，以 為半徑的圓；                                                 ………6分

   （2）當m=2時，方程化為(x－4)²+y²=4；                       

設，則，圓心到直線距離時，………8分

解得，又，所以圖形為上半個圓（包括與軸的兩個交點）……10分

故直線與半圓相切時；

當直線過軸上的兩個交點時知；

因此的取值范圍是.                            ………12分

22．解：(1)

2

3

51

200

196

192

1

4

                                                                   ………4分

   （2）由題意知數列的前50項成首項為200,公差為－4的等差數列,從第51項開始,奇數項均為1,偶數項均為4.                             

從而=                    

=.              ……………6分       

   （3）當時，因為,                       

   所以                          …………8分       

當時，

因為，所以，       ……………10分       

當時，

綜上：.                                      ……………12分