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定義變換T：可把平面直角坐標系上的點P（x，y）變換到這一平面上的點P′（x′，y′）．特別地，若曲線M上一點P經變換公式T變換后得到的點P'與點P重合，則稱點P是曲線M在變換T下的不動點．
（1）若橢圓C的中心為坐標原點，焦點在x軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2．求該橢圓C的標準方程．并求出當時，其兩個焦點F₁、F₂經變換公式T變換后得到的點F_1^′和F₂^′的坐標；
（2）當時，求（1）中的橢圓C在變換T下的所有不動點的坐標；
（3）試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的雙曲線在變換T：（，k∈Z）下的不動點的存在情況和個數．

定義變換T：

cosθ•x+sinθ•y=x′ ′sinθ•x-cosθ•y=y′

可把平面直角坐標系上的點P（x，y）變換到這一平面上的點P′（x′，y′）．特別地，若曲線M上一點P經變換公式T變換后得到的點P'與點P重合，則稱點P是曲線M在變換T下的不動點．
（1）若橢圓C的中心為坐標原點，焦點在x軸上，且焦距為2

2

，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2．求該橢圓C的標準方程．并求出當θ=arctan

3

4

時，其兩個焦點F₁、F₂經變換公式T變換后得到的點F_1^′和F₂^′的坐標；
（2）當θ=arctan

3

4

時，求（1）中的橢圓C在變換T下的所有不動點的坐標；
（3）試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的雙曲線在變換T：

cosθ•x+sinθ•y=x′ ′sinθ•x-cosθ•y=y′

（θ≠

kπ

2

，k∈Z）下的不動點的存在情況和個數．

（本題滿分14分）

已知如圖，橢圓方程為.P為橢圓上的動點,

F₁、F₂為橢圓的兩焦點，當點P不在x軸上時，過F₁作∠F₁PF₂的外角

平分線的垂線F₁M,垂足為M，當點P在x軸上時，定義M與P重合．

（1）求M點的軌跡T的方程；

（2）已知、，試探究是否存在這樣的點：是軌跡T內部的整點（平面內橫、縱坐標均為整數的點稱為整點），且△OEQ的面積？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

（本題滿分14分）已知如圖，橢圓方程為.P為橢圓上的動點,

F₁、F₂為橢圓的兩焦點，當點P不在x軸上時，過F₁作∠F₁PF₂的外角

平分線的垂線F₁M,垂足為M，當點P在x軸上時，定義M與P重合．

（1）求M點的軌跡T的方程；（2）已知、，

試探究是否存在這樣的點：是軌跡T內部的整點

（平面內橫、縱坐標均為整數的點稱為整點），且△OEQ的面積？

若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．