題目列表(包括答案和解析)
和
，
，其中
，且
，則向量
和
的夾角是 ．
和
，θ∈（π，2π），且
，求
的值．
和
，θ∈（π，2π），且
，求
的值．
和
，θ∈（π，2π），且
，求
的值．
和
，θ∈（π，2π），且
，求
的值．C組：
1、
∥
，
2、
(1) 
．
=
=
∵
，∴
，∴
．
∴max=
．
(2)由已知
，得
．
=
=
．
1.3全稱量詞與存在量詞（二）量詞否定
教學目標：利用日常生活中的例子和數學的命題介紹對量詞命題的否定，使學生進一步理解全稱量詞、存在量詞的作用.
教學重點：全稱量詞與存在量詞命題間的轉化；
教學難點：隱蔽性否定命題的確定；
課 型：新授課
教學手段：多媒體
教學過程：
一、創設情境
數學命題中出現“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個”、“至少有一個”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號分別記為“ 
”與“
”來表示）；由這樣的量詞構成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。在全稱命題與存在性命題的邏輯關系中，
都容易判斷，但它們的否定形式是我們困惑的癥結所在。
二、活動嘗試
問題1：指出下列命題的形式，寫出下列命題的否定。
（1）所有的矩形都是平行四邊形；
（2）每一個素數都是奇數；
（3）"xÎR，x2-2x+1≥0
分析：（1）"
，否定：存在一個矩形不是平行四邊形；
（2）
，否定：存在一個素數不是奇數；
（3），否定：$xÎR，x2-2x+1<0；
這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？
結論：從命題形式上看，這三個全稱命題的否定都變成了存在性命題.
三、師生探究$
問題2：寫出命題的否定
（1）p：$ x∈R，x2＋2x+2≤0；
（2）p：有的三角形是等邊三角形；
（3）p：存在一個四邊形，它的對角線互相垂直且平分；
分析：（1）" xÎR，x2＋2x+2>0；
（2）任何三角形都不是等邊三角形；
（3）對于所有的四邊形，它的對角線不可能互相垂直或平分；
從集合的運算觀點剖析：
,
四、數學理論
1.全稱命題、存在性命題的否定
一般地，全稱命題P：" xÎM,有P（x）成立；其否定命題┓P為：$x∈M,使P（x）不成立。存在性命題P：$xÎM，使P（x）成立；其否定命題┓P為：" xÎM,有P（x）不成立。
用符號語言表示：
P:"ÎM, p(x）否定為Ø P: $ÎM, Ø P（x）
P:$ÎM, p(x）否定為Ø P: "ÎM, Ø P（x）
在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定.
2.關鍵量詞的否定
詞語
是
一定是
都是
大于
小于
且
詞語的否定
不是
不一定是
不都是
小于或等于
大于或等于
或
詞語
必有一個
至少有n個
至多有一個
所有x成立
所有x不成立
詞語的否定
一個也沒有
至多有n-1個
至少有兩個
存在一個x不成立
存在有一個成立
否定一個命題常常堅持三點互換：任意與存在互換，肯定與否定互換、或者與并且互換
五、鞏固運用
例1 寫出下列全稱命題的否定：
（1）p：所有人都晨練；（2）p："xÎR，x2＋x+1>0；
（3）p：平行四邊形的對邊相等；（4）p：$ x∈R，x2－x+1＝0；
分析：（1）Ø P：有的人不晨練；（2）$ x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四邊形，它的的對邊不相等；（4）"xÎR，x2－x+1≠0；
例2 寫出下列命題的否定。
（1） 所有自然數的平方是正數。 （2） 任何實數x都是方程5x-12=0的根。
（3） 對任意實數x，存在實數y，使x+y＞0. （4） 有些質數是奇數。
解：（1）的否定：有些自然數的平方不是正數。
（2）的否定：存在實數x不是方程5x-12=0的根。
（3）的否定：存在實數x,對所有實數y，有x+y≤0。
（4）的否定：所有的質數都不是奇數。
解題中會遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡化形式，如“若x＞3，則x2＞
例3 寫出下列命題的否定。
（1） 若x2＞4 則x＞2.。
（2） 若m≥0,則x2+x-m=0有實數根。
（3） 可以被5整除的整數，末位是0。
（4） 被8整除的數能被4整除。
（5） 若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等。
解（1）否定：存在實數
，雖然滿足
＞4，但≤2。或者說：存在小于或等于2的數，滿足＞4。（完整表達為對任意的實數x, 若x2＞4 則x＞2）
（2）否定：雖然實數m≥0,但存在一個，使+ -m=0無實數根。（原意表達：對任意實數m,若m≥0,則x2+x-m=0有實數根。）
（3）否定：存在一個可以被5整除的整數，其末位不是0。
（4）否定：存在一個數能被8整除，但不能被4整除.(原意表達為所有能被8整除的數都能被4整除)
（5）否定：存在一個四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。（原意表達為無論哪個四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。）
例4 寫出下列命題的否命題與否命題，并判斷其真假性。
（1）p：若x＞y,則5x＞5y；
（2）p：若x2+x?2,則x2-x?2；
（3）p：正方形的四條邊相等；
（4）p：已知a,b為實數，若x2+ax+b≤0有非空實解集，則a2-4b≥0。
解：（1）Ø P：若存在x＞y，則5x≤5y； 假命題
否命題：若x≤y，則5x≤5y；真命題
（2）Ø P：若存在x,滿足x2+x?2，則x2-x≥2；真命題
否命題：若x2+x≥2，則x2-x≥2）；假命題。
（3）Ø P：存在一個四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等；假命題。
否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。
（4）Ø P：存在兩個實數a,b，雖然滿足x2+ax+b≤0有非空實解集，但使a2-4b?0。假命題。
否命題：已知a,b為實數，若x2+ax+b≤0沒有非空實解集，則a2-4b?0。真命題。
評注：命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：
1．任何命題均有否定，無論是真命題還是假命題；而否命題僅針對命題“若P則q”提出來的。
2．命題的否定（非）是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。
3． 原命題“若P則q” 的形式，它的非命題“若p，則Øq”；而它的否命題為 “若┓p，則┓q”，既否定條件又否定結論。
六、回顧反思
在教學中，務必理清各類型命題形式結構、性質關系，才能真正準確地完整地表達出命題的否定，才能避犯邏輯性錯誤，才能更好把邏輯知識負載于其它知識之上，達到培養和發展學生的邏輯思維能力。
七、課后練習
A組
1．命題p：存在實數m，使方程x2＋mx＋1＝0有實數根，則“非p”形式的命題是（ ）
A.存在實數m，使得方程x2＋mx＋1＝0無實根；
B.不存在實數m，使得方程x2＋mx＋1＝0有實根；
C.對任意的實數m，使得方程x2＋mx＋1＝0有實根；
D.至多有一個實數m，使得方程x2＋mx＋1＝0有實根；
2．有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數是分數，整數是有理數，則整數是分數”結論顯然是錯誤的，是因為（ ）
A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤
3．命題“"xÎR，x2-x+3>
4．“末位數字是0或5的整數能被5整除”的
否定形式是
否命題是
5．寫出下列命題的否定，并判斷其真假：
（1）p："m∈R，方程x2+x-m=0必有實根；
（2）q：$ÎR，使得x2+x+1≤0；
B組
6．寫出下列命題的“非P”命題，并判斷其真假：
（1）若m>1，則方程x2-2x+m=0有實數根．
（2）平方和為0的兩個實數都為0．
（3）若
是銳角三角形， 則的任何一個內角是銳角．
（4）若abc=0，則a,b,c中至少有一為0．
（5）若(x-1)(x-2)=0 ，則x≠1,x≠2．
書P16習題上Ex3、4
C組
1、已知
、
、
三點的坐標分別為
、
、
，
，
（1）若
，求角
的值；（2）若
，求
的值。
2、設平面內的向量
點
是直線
上的一個動點，求當
取最小值時，
的坐標及
的余弦值。
參考答案： 1． B，2．C，3．$ xÎR，x2-x+3≤0；4．否定形式：末位數是0或5的整數，不能被5整除； 否命題：末位數不是0且不是5的整數，不能被5整除
5．（1）Øp：$m∈R，方程x2+x-m=0無實根；真命題。
（2）Øq："ÎR，使得x2+x+1>0；真命題。
6． ⑴ 若m>1，則方程x2-2x+m=0無實數根，(真)；
⑵平方和為0的兩個實數不都為0(假)；
⑶若是銳角三角形， 則的任何一個內角不都是銳角(假)；
⑷若abc=0，則a,b,c中沒有一個為0(假)；
⑸若(x-1)(x-2)=0，則
或
，(真)．
C組
1、（1）
由得
又
（2）由，得
所以，=
2、設
點在直線上，
與
共線，而
即
有
.
故當且僅當
時，取得最小值
，此時
于是 
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