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4．下列命題中的假命題是( )A．存在實數(shù)α和β.使cos=cosαcosβ+sinαsinβB．不存在無窮多個α和β.使cos=cosαcosβ+sinαsinβC．對任意α和β.使cos=cosαcosβ-sinαsinβD．不存在這樣的α和β.使cos ≠cosαcosβ-sinαsinβ 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

下列命題中的假命題是（）

A．存在實數(shù)α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

B．不存在無窮多個α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ

C．對任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ

D．不存在這樣的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ

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判斷下列命題真假，真命題個數(shù)有（）個
①用秦九少韶算法計算多項式

在

的值時，共進(jìn)行了4次乘法和4次加法。
②在

中，若

則

是等腰或直角三角形
③已知函數(shù)

若

則

④若存在實數(shù)

，使得

，則

。

A．4

B．3

C．2

D．1

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給出下列五個命題：
①命題“任意x∈R，x²≥0”的否定是“存在x∈R，x²≤0”；
②若等差數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，則三點（10，

），（100，

），（110，

）共線；
③若函數(shù)f（x）=x²+（a+2）x+b，x∈[a，b]的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則f（x）的最大值為30；
④在△ABC中，若cos（2B+C）+2sinAsinB=0，則△ABC一定是等腰三角形；
⑤函數(shù)||x-1|-|x+1||≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．
其中假命題的序號是．（填上所有假命題的序號）

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給出下列五個命題：
①命題“任意x∈R，x²≥0”的否定是“存在x∈R，x²≤0”；
②若等差數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，則三點（10，

S10

），（100，

S100

100

），（110，

S110

110

①④

．（填上所有假命題的序號）

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給出下列五個命題：
①命題“任意x∈R，x²≥0”的否定是“存在x∈R，x²≤0”；
②若等差數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，則三點（10，

S10

），（100，

S100

100

），（110，

S110

110

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C組：

1、∥ ，

2、 (1) ．

∵，∴，∴．

∴_max=．

(2)由已知，得．

=．

1.3全稱量詞與存在量詞（二）量詞否定

教學(xué)目標(biāo)：利用日常生活中的例子和數(shù)學(xué)的命題介紹對量詞命題的否定，使學(xué)生進(jìn)一步理解全稱量詞、存在量詞的作用.

教學(xué)重點：全稱量詞與存在量詞命題間的轉(zhuǎn)化；

教學(xué)難點：隱蔽性否定命題的確定；

課型：新授課

教學(xué)手段：多媒體

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境

數(shù)學(xué)命題中出現(xiàn)“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個”、“至少有一個”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號分別記為“ ”與“”來表示）；由這樣的量詞構(gòu)成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。在全稱命題與存在性命題的邏輯關(guān)系中，都容易判斷，但它們的否定形式是我們困惑的癥結(jié)所在。

二、活動嘗試

問題1：指出下列命題的形式，寫出下列命題的否定。

（1）所有的矩形都是平行四邊形；

（2）每一個素數(shù)都是奇數(shù)；

（3）"xÎR，x²-2x+1≥0

分析：（1）"，否定：存在一個矩形不是平行四邊形；

（2），否定：存在一個素數(shù)不是奇數(shù)；

（3），否定：$xÎR，x²-2x+1<0；

這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？

結(jié)論：從命題形式上看，這三個全稱命題的否定都變成了存在性命題.

三、師生探究$

問題2：寫出命題的否定

（1）p：$ x∈R，x²＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等邊三角形；

（3）p：存在一個四邊形，它的對角線互相垂直且平分；

分析：（1）" xÎR，x²＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等邊三角形；

（3）對于所有的四邊形，它的對角線不可能互相垂直或平分；

從集合的運算觀點剖析：,

四、數(shù)學(xué)理論

1.全稱命題、存在性命題的否定

一般地，全稱命題P：" xÎM,有P（x）成立；其否定命題┓P為：$x∈M,使P（x）不成立。存在性命題P：$xÎM，使P（x）成立；其否定命題┓P為：" xÎM,有P（x）不成立。

用符號語言表示：

P:"ÎM, p(x）否定為Ø P: $ÎM, Ø P（x）

P:$ÎM, p(x）否定為Ø P: "ÎM, Ø P（x）

在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進(jìn)行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.關(guān)鍵量詞的否定

詞語

是

一定是

都是

大于

小于

且

詞語的否定

不是

不一定是

不都是

小于或等于

大于或等于

或

詞語

必有一個

至少有n個

至多有一個

所有x成立

所有x不成立

詞語的否定

一個也沒有

至多有n-1個

至少有兩個

存在一個x不成立

存在有一個成立

否定一個命題常常堅持三點互換：任意與存在互換，肯定與否定互換、或者與并且互換

五、鞏固運用

例1 寫出下列全稱命題的否定：

（1）p：所有人都晨練；（2）p："xÎR，x²＋x+1>0；

（3）p：平行四邊形的對邊相等；（4）p：$ x∈R，x²－x+1＝0；

分析：（1）Ø P：有的人不晨練；（2）$ x∈R，x²＋x+1≤0；（3）存在平行四邊形，它的的對邊不相等；（4）"xÎR，x²－x+1≠0；

例2 寫出下列命題的否定。

（1）所有自然數(shù)的平方是正數(shù)。（2）任何實數(shù)x都是方程5x-12=0的根。

（3）對任意實數(shù)x，存在實數(shù)y，使x+y＞0. （4）有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。

解：（1）的否定：有些自然數(shù)的平方不是正數(shù)。

（2）的否定：存在實數(shù)x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在實數(shù)x,對所有實數(shù)y，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。

解題中會遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡化形式，如“若x＞3，則x²＞9”。在求解中極易誤當(dāng)為簡單命題處理；這種情形下時應(yīng)先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來寫出其否定形式。

例3 寫出下列命題的否定。

（1）若x²＞4 則x＞2.。

（2）若m≥0,則x²+x-m=0有實數(shù)根。

（3）可以被5整除的整數(shù)，末位是0。

（4）被8整除的數(shù)能被4整除。

（5）若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等。
解（1）否定：存在實數(shù)，雖然滿足＞4，但≤2。或者說：存在小于或等于2的數(shù)，滿足＞4。（完整表達(dá)為對任意的實數(shù)x, 若x²＞4 則x＞2）

（2）否定：雖然實數(shù)m≥0,但存在一個，使+ -m=0無實數(shù)根。（原意表達(dá)：對任意實數(shù)m,若m≥0,則x²+x-m=0有實數(shù)根。）

（3）否定：存在一個可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0。

（4）否定：存在一個數(shù)能被8整除，但不能被4整除.(原意表達(dá)為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除)

（5）否定：存在一個四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。（原意表達(dá)為無論哪個四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。）

例4 寫出下列命題的否命題與否命題，并判斷其真假性。　

（1）p：若x＞y,則5x＞5y；

（2）p：若x²+x?2,則x²-x?2；

（3）p：正方形的四條邊相等；

（4）p：已知a,b為實數(shù)，若x²+ax+b≤0有非空實解集，則a²-4b≥0。

解：（1）Ø P：若存在x＞y，則5x≤5y；假命題

　　否命題：若x≤y，則5x≤5y；真命題

（2）Ø P：若存在x,滿足x²+x?2，則x²-x≥2；真命題

　　否命題：若x²+x≥2，則x²-x≥2）；假命題。

　（3）Ø P：存在一個四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等；假命題。　　

否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。

（4）Ø P：存在兩個實數(shù)a,b，雖然滿足x2+ax+b≤0有非空實解集，但使a²-4b?0。假命題。

　　否命題：已知a,b為實數(shù)，若x2+ax+b≤0沒有非空實解集，則a²-4b?0。真命題。

評注：命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：

1．任何命題均有否定，無論是真命題還是假命題；而否命題僅針對命題“若P則q”提出來的。

2．命題的否定（非）是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。

3．原命題“若P則q” 的形式，它的非命題“若p，則Øq”；而它的否命題為 “若┓p，則┓q”，既否定條件又否定結(jié)論。

六、回顧反思

在教學(xué)中，務(wù)必理清各類型命題形式結(jié)構(gòu)、性質(zhì)關(guān)系，才能真正準(zhǔn)確地完整地表達(dá)出命題的否定，才能避犯邏輯性錯誤，才能更好把邏輯知識負(fù)載于其它知識之上，達(dá)到培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。

七、課后練習(xí)

A組

1．命題p：存在實數(shù)m，使方程x²＋mx＋1＝0有實數(shù)根，則“非p”形式的命題是（）

A.存在實數(shù)m，使得方程x²＋mx＋1＝0無實根；

B.不存在實數(shù)m，使得方程x²＋mx＋1＝0有實根；

C.對任意的實數(shù)m，使得方程x²＋mx＋1＝0有實根；

D.至多有一個實數(shù)m，使得方程x²＋mx＋1＝0有實根；

2．有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯誤的，是因為（）

A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤

3．命題“"xÎR，x²-x+3>0”的否定是

4．“末位數(shù)字是0或5的整數(shù)能被5整除”的

否定形式是