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C組：

1、∥  ，

2、 (1)  ．

==

∵，∴，∴．

∴_max=．

(2)由已知，得 ．

=

=． 

1.3全稱量詞與存在量詞（二）量詞否定

教學目標：利用日常生活中的例子和數學的命題介紹對量詞命題的否定，使學生進一步理解全稱量詞、存在量詞的作用.

教學重點：全稱量詞與存在量詞命題間的轉化；

教學難點：隱蔽性否定命題的確定；

課    型：新授課

教學手段：多媒體

教學過程：

一、創設情境

數學命題中出現“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個”、“至少有一個”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號分別記為“ ”與“”來表示）；由這樣的量詞構成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。在全稱命題與存在性命題的邏輯關系中，都容易判斷，但它們的否定形式是我們困惑的癥結所在。

二、活動嘗試

問題1：指出下列命題的形式，寫出下列命題的否定。

（1）所有的矩形都是平行四邊形；

（2）每一個素數都是奇數；

（3）"xÎR，x²-2x+1≥0

分析：（1）"，否定：存在一個矩形不是平行四邊形；

（2），否定：存在一個素數不是奇數；

（3），否定：$xÎR，x²-2x+1<0；

這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？

結論：從命題形式上看，這三個全稱命題的否定都變成了存在性命題.

三、師生探究$

問題2：寫出命題的否定

（1）p：$ x∈R，x²＋2x+2≤0；

（2）p：有的三角形是等邊三角形；

（3）p：存在一個四邊形，它的對角線互相垂直且平分；

分析：（1）" xÎR，x²＋2x+2>0；

（2）任何三角形都不是等邊三角形；

（3）對于所有的四邊形，它的對角線不可能互相垂直或平分；

從集合的運算觀點剖析：,

四、數學理論

1.全稱命題、存在性命題的否定

一般地，全稱命題P：" xÎM,有P（x）成立；其否定命題┓P為：$x∈M,使P（x）不成立。存在性命題P：$xÎM，使P（x）成立；其否定命題┓P為：" xÎM,有P（x）不成立。

用符號語言表示：

P:"ÎM, p(x）否定為Ø P: $ÎM, Ø P（x）

P:$ÎM, p(x）否定為Ø P: "ÎM, Ø P（x）

在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.關鍵量詞的否定

詞語

是

一定是

都是

大于

小于

且

詞語的否定

不是

不一定是

不都是

小于或等于

大于或等于

或

詞語

必有一個

至少有n個

至多有一個

所有x成立

所有x不成立

詞語的否定

一個也沒有

至多有n-1個

至少有兩個

存在一個x不成立

存在有一個成立

否定一個命題常常堅持三點互換：任意與存在互換，肯定與否定互換、或者與并且互換

五、鞏固運用

例1  寫出下列全稱命題的否定：

（1）p：所有人都晨練；（2）p："xÎR，x²＋x+1>0；

（3）p：平行四邊形的對邊相等；（4）p：$ x∈R，x²－x+1＝0；

分析：（1）Ø P：有的人不晨練；（2）$ x∈R，x²＋x+1≤0；（3）存在平行四邊形，它的的對邊不相等；（4）"xÎR，x²－x+1≠0；

例2 寫出下列命題的否定。

（1） 所有自然數的平方是正數。 （2） 任何實數x都是方程5x-12=0的根。

（3） 對任意實數x，存在實數y，使x+y＞0. （4） 有些質數是奇數。

解：（1）的否定：有些自然數的平方不是正數。

（2）的否定：存在實數x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在實數x,對所有實數y，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的質數都不是奇數。

解題中會遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡化形式，如“若x＞3，則x²＞9”。在求解中極易誤當為簡單命題處理；這種情形下時應先將命題寫成完整形式，再依據法則來寫出其否定形式。

例3 寫出下列命題的否定。

（1） 若x²＞4 則x＞2.。

（2） 若m≥0,則x²+x-m=0有實數根。

（3） 可以被5整除的整數，末位是0。

（4） 被8整除的數能被4整除。

（5） 若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等。
解（1）否定：存在實數，雖然滿足＞4，但≤2。或者說：存在小于或等于2的數，滿足＞4。（完整表達為對任意的實數x, 若x²＞4 則x＞2）

（2）否定：雖然實數m≥0,但存在一個，使+ -m=0無實數根。（原意表達：對任意實數m,若m≥0,則x²+x-m=0有實數根。）

（3）否定：存在一個可以被5整除的整數，其末位不是0。

（4）否定：存在一個數能被8整除，但不能被4整除.(原意表達為所有能被8整除的數都能被4整除)

（5）否定：存在一個四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。（原意表達為無論哪個四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。）

例4 寫出下列命題的否命題與否命題，并判斷其真假性。　

（1）p：若x＞y,則5x＞5y；

（2）p：若x²+x?2,則x²-x?2；

（3）p：正方形的四條邊相等；

（4）p：已知a,b為實數，若x²+ax+b≤0有非空實解集，則a²-4b≥0。

解：（1）Ø P：若存在x＞y，則5x≤5y； 假命題

　　    否命題：若x≤y，則5x≤5y；真命題

（2）Ø P：若存在x,滿足x²+x?2，則x²-x≥2；真命題

　　    否命題：若x²+x≥2，則x²-x≥2）；假命題。

　 （3）Ø P：存在一個四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等；假命題。　　

否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。

（4）Ø P：存在兩個實數a,b，雖然滿足x2+ax+b≤0有非空實解集，但使a²-4b?0。假命題。

　　否命題：已知a,b為實數，若x2+ax+b≤0沒有非空實解集，則a²-4b?0。真命題。

評注：命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：

1．任何命題均有否定，無論是真命題還是假命題；而否命題僅針對命題“若P則q”提出來的。

2．命題的否定（非）是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。

3． 原命題“若P則q” 的形式，它的非命題“若p，則Øq”；而它的否命題為 “若┓p，則┓q”，既否定條件又否定結論。

六、回顧反思

在教學中，務必理清各類型命題形式結構、性質關系，才能真正準確地完整地表達出命題的否定，才能避犯邏輯性錯誤，才能更好把邏輯知識負載于其它知識之上，達到培養和發展學生的邏輯思維能力。

七、課后練習

A組

1．命題p：存在實數m，使方程x²＋mx＋1＝0有實數根，則“非p”形式的命題是（      ）

A.存在實數m，使得方程x²＋mx＋1＝0無實根；

B.不存在實數m，使得方程x²＋mx＋1＝0有實根；

C.對任意的實數m，使得方程x²＋mx＋1＝0有實根；

D.至多有一個實數m，使得方程x²＋mx＋1＝0有實根；

2．有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數是分數，整數是有理數，則整數是分數”結論顯然是錯誤的，是因為（    ）

A．大前提錯誤    B．小前提錯誤      C．推理形式錯誤   D．非以上錯誤              

3．命題“"xÎR，x²-x+3>0”的否定是                     

4．“末位數字是0或5的整數能被5整除”的

否定形式是                                     

否命題是                                       

5．寫出下列命題的否定，并判斷其真假：

（1）p："m∈R，方程x²+x-m=0必有實根；

（2）q：$ÎR，使得x²+x+1≤0；

B組

6．寫出下列命題的“非P”命題，并判斷其真假：

（1）若m>1，則方程x²-2x+m=0有實數根．

（2）平方和為0的兩個實數都為0．

（3）若是銳角三角形， 則的任何一個內角是銳角．

（4）若abc=0，則a,b,c中至少有一為0．

（5）若(x-1)(x-2)=0 ，則x≠1,x≠2．

書P16習題上Ex3、4

C組

1、已知、、三點的坐標分別為、、，，

（1）若，求角的值；（2）若，求的值。

2、設平面內的向量點是直線上的一個動點，求當取最小值時，的坐標及的余弦值。

參考答案： 1． B，2．C，3．$ xÎR，x²-x+3≤0；4．否定形式：末位數是0或5的整數，不能被5整除；   否命題：末位數不是0且不是5的整數，不能被5整除

5．（1）Øp：$m∈R，方程x²+x-m=0無實根；真命題。

（2）Øq："ÎR，使得x²+x+1>0；真命題。

6． ⑴  若m>1，則方程x²-2x+m=0無實數根，(真)；

⑵平方和為0的兩個實數不都為0(假)；

⑶若是銳角三角形， 則的任何一個內角不都是銳角(假)；

⑷若abc=0，則a,b,c中沒有一個為0(假)；

⑸若(x-1)(x-2)=0，則 或，(真)．

C組

1、（1）

由得    又     

（2）由，得

所以，=

2、設   點在直線上，與共線，而

  即   有.

故當且僅當時，取得最小值，此時

     于是