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解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

過點P(1，0)作曲線C：y＝x₂(x∈(0,＋∞))的切線，切點為Q₁，設點Q₁在x軸上的投影為P₁(即過點Q₁作x軸的垂線，垂足為P₁)，又過點P₁作曲線C的切線，切點為Q₂，設點Q₂在x軸上的投影為P₂，…，依次下去，得到一系列點Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n，…，設點Q_n的橫坐標為a_n，n∈N^*．

(1)

求數列{a_n}的通項公式；

(2)

比較a_n與的大小,并證明你的結論；

(3)

設,數列{b_n}的前n項和為S_n,求證：對任意的正整數n均有≤S_n＜2．

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給出下列四個命題：
①“向量

，

的夾角為銳角”的充要條件是“

·

>0”；
②如果f(x)=lgx,則對任意的x₁、x₂Î(0,+¥),且x₁¹x₂,都有f(

)>

；
③設f(x)與g(x)是定義在同一區間[a,b]上的兩個函數,若對任意xÎ[a,b],都有|f(x)?g(x)|£1成立,則稱f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函數”,區間[a,b]稱為“密切區間”.若f(x)=x²?3x+4與g(x)=2x?3在[a,b]上是“密切函數”,則其“密切區間”可以是[2,3]；
④記函數y=f(x)的反函數為y=f^?¹(x),要得到y=f^?¹(1?x)的圖象,可以先將y=f(x)的圖象關于直線y=x做對稱變換,再將所得的圖象關于y軸做對稱變換,再將所得的圖象沿x軸向左平移1個單位,即得到y=f^?¹(1?x)的圖象．其中真命題的序號是。(請寫出所有真命題的序號)

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如圖，F是定直線l外的一個定點，C是l上的動點，有下列結論：若以C為圓心，CF為半徑的圓與l相交于A、B兩點，過A、B分別作l的垂線與圓C過F的切線相交于點P和點Q，則必在以F為焦點，l為準線的同一條拋物線上．
（Ⅰ）建立適當的坐標系，求出該拋物線的方程；
（Ⅱ）對以上結論的反向思考可以得到另一個命題：“若過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于P、Q兩點，則以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準線l相切”請問：此命題是正確？試證明你的判斷；
（Ⅲ）請選擇橢圓或雙曲線之一類比（Ⅱ）寫出相應的命題并證明其真假．（只選擇一種曲線解答即可，若兩種都選，則以第一選擇為平分依據）

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如圖，F是定直線l外的一個定點，C是l上的動點，有下列結論：若以C為圓心，CF為半徑的圓與l相交于A、B兩點，過A、B分別作l的垂線與圓C過F的切線相交于點P和點Q，則必在以F為焦點，l為準線的同一條拋物線上．
（Ⅰ）建立適當的坐標系，求出該拋物線的方程；
（Ⅱ）對以上結論的反向思考可以得到另一個命題：“若過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于P、Q兩點，則以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準線l相切”請問：此命題是正確？試證明你的判斷；
（Ⅲ）請選擇橢圓或雙曲線之一類比（Ⅱ）寫出相應的命題并證明其真假．（只選擇一種曲線解答即可，若兩種都選，則以第一選擇為平分依據）

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如圖，F是定直線l外的一個定點，C是l上的動點，有下列結論：若以C為圓心，CF為半徑的圓與l相交于A、B兩點，過A、B分別作l的垂線與圓C過F的切線相交于點P和點Q，則必在以F為焦點，l為準線的同一條拋物線上．
（Ⅰ）建立適當的坐標系，求出該拋物線的方程；
（Ⅱ）對以上結論的反向思考可以得到另一個命題：“若過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于P、Q兩點，則以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準線l相切”請問：此命題是正確？試證明你的判斷；
（Ⅲ）請選擇橢圓或雙曲線之一類比（Ⅱ）寫出相應的命題并證明其真假．（只選擇一種曲線解答即可，若兩種都選，則以第一選擇為平分依據）

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