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（本題滿分12分）如圖，橢圓C方程為 （）,點為橢圓C的左、右頂點。

（1）若橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3，最小值為1，求橢圓的標準方程；
（2）若直線與（1）中所述橢圓C相交于A、B兩點（A、B不是左、右頂點），且滿足,求證：直線過定點，并求出該點的坐標。 

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如圖，橢圓C方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），點A₁，A₂為橢圓C的左、右頂點．
（1）若橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3，最小值為1，求橢圓的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+m與（1）中所述橢圓C相交于A、B兩點（A、B不是左、右頂點），且滿足AA₂⊥BA₂，求證：直線l過定點，并求出該點的坐標．

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1．D    2．B    3．C    4．B    5．A    6．B    7．B    8．D    9．C    10．C

l1．A   12．C

13．

14．15

15．

16．

提示：

1．D    ．

2．B    視力住0．9以上的頻率為，人數為．

3．C    ，且

        若，則且

        反之，若，則

4．B    ，由，得．

．

5．A    ．

6．B   

當時，，由得；

當時，；

    當時，，由．

7．B    該幾何體是上面是正四棱錐，下面為正方體，體積為

．

8．D    ．

9．C    ，

，

，

，

．

10．C  

即，或．

1l．A   設．

則方程為．

過點

,

,

,

．

 12．C  畫出平面區域，

圓的圓心，半徑為l，

的最大值為的最小值為

．的最大值為，最小值為

13．．

    ，    ．

14．15  ；

    ；

    ．

15．

    ．

16．．

    又

17．解：（1），                          （2分）

．                            （4分）

        由余弦定理，得．                                （6分）

（2），                                 （7分）

      （9分）                               （10分）

                                         （11分）

                            （12分）

18．解：（1）的可能取值為l，2，3，4．

                                              （4分）

        ∴甲取球次數的數學期望． （6分）

（2）由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色

共有（種）不同情形，                            （8分）

每種情形都是等可能，記甲獲勝為事件A，則

                    （11分）

        所以甲獲勝的概率小于乙獲勝的概率，這個游戲規則不公平           （12分）

19．解：以為原點，、、所在的直線為

，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則

                    （3分）

（1），

即直線與所成角的余角的余弦值為             （6分）

（2）設

        由平面得

即   得

，即為的中點．                                 （9分）

（3）由（2）知為平面的法向量．

        設為平面的法向量，

        由即

令得，

，

即二面角的余弦值為                （12分）

（非向量解法參照給分）

20．（1）解：成等比數列，，即

又，                                         （3分）

                             （5分）

（2）證明： ．                          （6分）

        是首項為2，公差為2的等差數列，

                                         （7分）

        （當且僅當時取“=”）．                                                 ①              （9分）

     當且僅當即時取“=”．                     ②            （11分）

        又①②中等號不可能同時取到，  （12分）

21．解：（1）設．

對稱軸方程．由題意恒成立，                        （2分）

在區間上單凋遞增，                                （3分）

        ∴當且僅當橢圓上的點在橢圓的左、右頂點時取得最小值與最大值．（4分）

（安徽高中數學網站注：這里用橢圓第二定義根簡單直觀）

（2）由已知與（1）得：，

，                                  （5分）

∴橢圓的標準方程為．                                 （6分）

（3）設，聯立

得．                             （7分）

則

又，（8分）

∵橢圓的右頂點為，

                                         （9分）

        解得：，且均滿足，           （10分）

        當時，的方程為，直線過定點（2，0），與已知矛盾．

當時，的方程為，直線過定點（，0），       （11分）

∴直線過定點，定點坐標為（，0）．                              （12分）

22，解：（1）由題意：的定義域為，且．

，故在上是單調遞增函數．          （2分）

（2）由（1）可知：

① 若，則，即在上恒成立，此時在上為增函數，

（舍去）．                       （4分）

② 若，則，即在上恒成立，此時在上為減函數，

（舍去）．                 （6分）

        ③ 若，令得，

        當時，在上為減函數，

        當時，在上為增函數，

                    （9分）

綜上可知：．                                           （10分）（3）．

        又                                         （11分）

        令，

        在上是減函數，，即，

        在上也是減函數，．

        令得，∴當在恒成立時，．（14分）