題目列表(包括答案和解析)
如圖所示，已知直四棱柱
中，
，
，且滿足
．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
如圖所示，已知直四棱柱
中，
，
，且滿足
．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
如圖所示，已知直四棱柱
中，
，
，且滿足
．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
如圖所示，已知直四棱柱
中，
，
，且滿足
．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
四棱錐
中，底面
是邊長為2的正方形，
，且
，點
滿足
．
（1）求證：
平面；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）在線段
上是否存在點
使得
平面
？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．
1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．C
l1．A 12．C
13．
14．15
15．
16．
提示：
1．D 
．
2．B 視力住0．9以上的頻率為
，人數為
．
3．C 
，且
若
，則
且
反之，若
，則
4．B 
，由
，得
．
．
5．A 
．
6．B 
當
時，
，由
得
；
當
時，
；
當
時，
，由
．
7．B 該幾何體是上面是正四棱錐，下面為正方體，體積為
．
8．D 
．
9．C 
，
，
，
，
．
10．C 
即，或
．
設
．
則
方程為
．
過點
,
,
,
．
12．C
畫出平面區域
，
圓
的圓心
，半徑為l，
的最大值為
的最小值為
．
的最大值為
，最小值為
13．
．
， 
．
14．15 
；
；
．
15．
．
16．
．
又
17．解：（1）
， （2分）
． （4分）
由余弦定理，得
． （6分）
（2）
， （7分）
（9分） 
（10分）
（11分）
（12分）
18．解：（1）
的可能取值為l，2，3，4．
（4分）
∴甲取球次數的數學期望
． （6分）
（2）由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色
共有
（種）不同情形，
（8分）
每種情形都是等可能，記甲獲勝為事件A，則
（11分）
所以甲獲勝的概率小于乙獲勝的概率，這個游戲規則不公平 （12分）
19．解：以
為原點，
、
、
所在的直線為
，
，
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
（3分）
（1）
，
即直線
與所成角的余角的余弦值為
（6分）
（2）設
由
平面
得
即
得
，即
為的中點． （9分）
（3）由（2）知
為平面的法向量．
設
為平面
的法向量，
由
即
令
得
，
，
即二面角
的余弦值為
（12分）
（非向量解法參照給分）
20．（1）解：
成等比數列，
，即
又
， （3分）
（5分）
（2）證明： 
． （6分）
是首項為2，公差為2的等差數列，
（7分）
（當且僅當
時取“=”）． ① （9分）
當且僅當
即
時取“=”． ② （11分）
又①②中等號不可能同時取到，
（12分）
21．解：（1）設
．
對稱軸方程
．由題意
恒成立， （2分）
在區間
上單凋遞增， （3分）
∴當且僅當橢圓
上的點
在橢圓的左、右頂點時
取得最小值與最大值．（4分）
（安徽高中數學網站注：這里用橢圓第二定義根簡單直觀）
（2）由已知與（1）得：
，
， （5分）
∴橢圓的標準方程為
． （6分）
（3）設
，聯立
得
． （7分）
則
又
，（8分）
∵橢圓的右頂點為
，
（9分）
解得：
，且均滿足
， （10分）
當
時，的方程為
，直線過定點（2，0），與已知矛盾．
當
時，的方程為
，直線過定點（
，0）， （11分）
∴直線過定點，定點坐標為（，0）． （12分）
22，解：（1）由題意：
的定義域為
，且
．
，故在上是單調遞增函數． （2分）
（2）由（1）可知：
① 若
，則
，即
在
上恒成立，此時在上為增函數，
（舍去）． （4分）
② 若
，則
，即
在上恒成立，此時在上為減函數，
（舍去）． （6分）
③ 若
，令
得
，
當
時，
在
上為減函數，
當
時，
在
上為增函數，
（9分）
綜上可知：
． （10分）（3）
．
又
（11分）
令
，
在
上是減函數，
，即
，
在上也是減函數，
．
令得
，∴當
在
恒成立時，．（14分）
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