題目列表(包括答案和解析)
若直角坐標平面內，
、
兩點滿足條件： ① 點、都在函數
圖像上；②點、關于原點對稱，則稱點對（、）是函數的一個“姐妹點對”（點對（、）與點（、）可看作同一個“姐妹對”）．
已知函數
，則的“姐妹點對”的個數為
（
）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
，則f（x）的“和諧點對”有（ ）在直角坐標平面內，A點在( 4，0 )，B點在圓 ( x 2 ) 2 + y 2 = 1上，以AB為邊作正△ABC （A、B、C按順時針排列），則頂點C的軌跡是（ ）
（A）圓 （B）橢圓 （C）拋物線 （D）雙曲線的一支
若直角坐標平面內，
、
兩點滿足條件：
① 點、都在函數
圖像上；
②點、關于原點對稱，則稱點對（、）是函數的一個“姐妹點對”（點對（、）與點（、）可看作同一個“姐妹對”）．
已知函數
，則的“姐妹點對”的個數為 （
）
A．1 B．2 C．3 D．4
在直角坐標平面中,已知點
, 
，…
, 其中n是正整數. 對平面上任一點
, 記A1為A0關于點P1的對稱點, A2為A1關于點P2的對稱點, ┄, AN為AN-1關于點PN的對稱點.
（1）求向量
的坐標;
（2）當點A0在曲線C上移動時, 點A2的軌跡是函數
的圖象,其中
是以3為周期的周期函數,且當x∈(0,3)時,=lgx.求以曲線C為圖象的函數在(1,4)上的解析式;
（3）對任意偶數n,用n表示向量
的坐標.
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
D
C
C
A
4．【解析】{an}為等差數列，則{
}也為等差數列且其公差d = 1,
∴
，∴
=
．
5．【解析】圓方程可化為
，則圓心到直線的距離
，當1＜d＜3時，則圓上恰有兩個點到直線的距離等于1，
＜|c|＜
，故選D.
6．【解析】y
= f(x)是奇函數，由f(x)＞f (?x) + x得f(x)＞
，數形結合．
7．【解析】設l過原點，取線段AB的中點M(?1，
)，則OM⊥l，∴kl =
．
8．【解析】∵f(x)是偶函數且f(x)在[0，+∞)是增函數
∴|ax + 1|≤|x ?2|恒成立，x∈[
，1]．
∴x ? 2≤ax + 1≤2 ? x
即
．
二、填空題
9．【解析】
，令
有r = 2，∴
．
10．【解析】
= 1440．
11． 【解析】求出交點
代入求出k并驗證得k = ?9．
12．
【解析】易求：拋物線焦點F(4，0)，準線L：x = ? 4．橢圓焦點F(4，0)、 F′(4，4)，如圖所示．
所以F為兩曲線之公共焦點．
設兩曲線交于點A，則
所以當H、A、F′共線時，2a有最小值，從而a也達到最小，此時，yA = yF = 4，代入y2 = 16x 得xA = 1，再以A(1，4)代入橢圓得：a2 = 16，從而a = 4．
13．【解析】①在平面A′FA內過點A′作A′H⊥AF，垂足為H，由DE⊥AF，DE⊥A′G知DE⊥平面A′GA．故DE⊥A′H，∴A′H⊥平面ABC，即A′在平面ABC上的射影在線段AF上．
②由①得；
③由①知：當A′H與A′G重合時，三棱錐A′―FED的體積有最大值；
④用反證法：假設A′E與BD垂直，由①知A′H⊥BD，∴BD⊥面A′HE，EH⊥BD．
∴當EH⊥BD時，可證A′E⊥BD．
故①②③正確．
14．【解析】當n≤x＜n + 1(n∈Z)時，y = f(x) = x ? n，
顯然有0≤x ? n＜1，即0≤y＜1，
也有f(x+ 1) }= x + 1 ? [x + 1] = x + 1? ([x] + 1) = x ? [x] = f(x)．如圖．
答案為：［0，1）；1
15．【解析】（i）20；
（ii）將粒子的運動軌跡定義為數對（i，j）
則它的運動整點可排成數表
（0，0）
（0，1） （1，1） （1，0）
（0，0） （2，1） （2，2） （1，2） （0，2）
（0，3） （1，3） （2，3） （3，3） （3，2） （3，1） （3，0）
（4，0） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （3，4） （2，4） （1，4）（0，4）
通過推并可知：經過2 = 1×2s，運動到（1，1）
經過6 =2×3s，運動到（2，2）
經過12 =3×4s，運動到（3，3）
∴經過44×45 = 1980s，運動到（44，44）
再繼續運動29s，到達點（15，44）．
三、解答題
16．【解析】（1）
= 0，1，2，4．
（1分）
P(= 4) =
P(= 2) =
P(= 1) =
P(= 0) = 1?P(= 1) ?P(= 2) ?P(= 4) =
（7分）
∴的分布列為
0
1
2
4
P
（9分）
∴E=
，
D= (0 ? 1)2×+ (1 ? 1)2×+(2 ? 1)2×+(4 ? 1)2×= 1
（12分）
17．【解析】（Ⅰ）∵
，∴
= 0，
（2分）
∴
，
（4分）
又∵
∈R，∴
時，mmin = ?2.
又
，所以
（6分）
（Ⅱ）∵
，且
,∴
（8分）
∴
∴
（10分）
（12分）
18．【解析】（Ⅰ）∵AB = 3，BC = 4，∴AC = 5
∵AC2 = AB2 + BC2
∴AB⊥BC
又AB⊥BB1
且BC∩BB1 = B
∴AB⊥面BCC1B1 （4分）
（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系
則A(3，0，0)，P(0，0，3)，Q(0，4，4)
設面APQ的法向量為
= (x，y，z)
= (1，?1，1)
而面ABC的法向量可以取
= (0，0，1)
∴
∴面PQA與面ABC所成的銳二面角為arccos
．
（8分）
（Ⅲ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7．
∴S四邊形BCQP
=
∴VA―BCQP
=×20×3 = 20
又∵V
=
．
∴
．
（12分）
19．【解析】（Ⅰ）
（
）． （2分）
（Ⅱ）設第n區內的面積為bn平方米，
則 
． （4分）
則第n區內火山灰的總重量為
（噸）
（萬噸） （6分）
設第n區火山灰總重量最大，則
解得
∴n =50.
即得第50區火山灰的總重量最大. （9分）
（Ⅲ）設火山噴發的火山區灰總重量為S萬噸，
則
設
則
①
∴
②
①－②得
∴
（12分）
∵0＜q＜1，∴
（萬噸）
因此該火山這次噴發出的火山灰的總重量約為3712萬噸． （13分）
20．【解析】（Ⅰ）因為圓O的方程為x2 + y2
= 2，所以d
=
，
可得b2 = 2(k2 + 1)(k≠±1)． （4分）
（Ⅱ）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
，
所以
，
（7分）
所以
=
=
，
因為|AB| =
×
=
，
O到AB的距離
，
（11分）
所以
=
∈
．
（13分）
21．（Ⅰ）【解析】
．
（2分）
由f (?2) =
又∵b，c∈N* ∴c = 2，b = 2
∴f (x) =
．
（4分）
令f′(x)＞0得：x＜0或x＞2
令f′(x)＜0得：0＜x＜2
∴f(x)的單調遞增區間為（?∞，0），（2，+∞）
f(x)的單調遞減區間為（0，1），（1，2）． （6分）
（Ⅱ）證明：由已知可得：2Sn = an ? 
，
兩式相減得：(an + an ? 1) (an ? an ? 1+1) = 0 （n≥2）
∴an = ?an ?1或an ?an?1 = ?1 （7分）
當n =1 時，2a1 = a1 ?
若an = ?an?1，則a2 = ?a1 = 1與an≠1矛盾．
（定義域要求an≠1）
∴an ? an?1 = 1，∴an = ?n． （8分）
要證的不等式轉化為
先證不等式
令g (x) = x ?ln(1 + x)，h(x) = ln(x +1) ?
（10分）
則g′(x) =
，h′(x) =
∵x＞0 ∴g′(x)＞0，h′(x)＞0
∴g (x)， h(x)在（0，+∞）上
∴g (x)＞g (0) = 0，h(x)＞h(0) = 0 （12分）
∴
故
，即
．
（13分）
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