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等腰直角三角形ABC的三個頂點在同一球面上,∠BAC=90°,AB=AC=,若球心O到平面ABC的距離為 1,則該球的半徑為________;球的表面積為_________.

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等腰直角三角形ABC的三個頂點在同一球面上，∠BAC=90°,AB=AC=.若球心O到平面ABC的距離為1，則該球的半徑為___________；球的表面積為___________.

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有下列幾個命題：①若與都是非零向量，則“”是“”的充要條件；②已知等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是；③在平面直角坐標系xoy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，已知點A（-2，0），B（6，8），C（8，6），則D點的坐標為（0，-1）；④設，，為同一平面內具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足與不共線，⊥，||=||，則|•|的值一定等于以，為鄰邊的平行四邊形的面積．其中正確命題的序號是    ．（寫出全部正確結論的序號）

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一、選擇題

1.B  2.C  3.C  4.C  5.D  6.A  7.D  8.A

二、填空題

9．－8   10．（－1，－2）   11．   12．（2分）；2（3分）

13．（3分）   14．3.5

三、解答題

15．解：（Ⅰ）由已知得 ………………2分

  ………………4分

在三角形ABC中，C=60° ………………6分

（Ⅱ）∵  …………8分

又∵   ………………9分

∴

∴  ………………11分

∴

∴   ………………13分（少一組值扣1分）

16．[解法一]（Ⅰ）證：在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AC//A₁C₁  ………………2分

又平面ACD   ∴A₁C₁//平面ACD  ………………4分

（Ⅱ）在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC

∴A₁A⊥AC    ………………6分    又∠BAC=90°   ∴AC⊥AB

∴AC⊥平面A₁ABB₁  ………………8分

又A₁D平面A₁ABB₁，  ∴AC⊥A₁D

∴異面直線AC與A₁D所成的角大小為  ………………9分

（Ⅲ）∵△A₁B₁D和△ABD都為等腰直角三角形，∴∠A₁DB₁=∠ADB=45°

∴∠A₁DA=90°即  A₁D⊥AD  …………11分   由（Ⅱ）知A₁D⊥AC，

∴A₁D⊥平面ACD  ……………………14分

[解法二]向量法（略）

17．解：（Ⅰ）圓心坐標C（－1，2），半徑。  ………………3分（圓心橫縱坐標及半徑各1分）

   （Ⅱ）∵切線在兩坐標軸上的截距相等且不為零，

    設直線方程  ………………4分

∵圓C：

∴圓心C（－1，2）到切線的距離等于圓半徑，

即：   ………………6分

∴a=－1或a=3，

所求切線方程為：

（Ⅲ）∵切線PM與半徑CM垂直，設P(x，y)

∴|PM|²=|PC|²－|CM|²  ………………10分

∴  ………………11分

所以點P的軌跡方程為     ………………13分

18．（Ⅰ）證明：∵      

   ……………………1分

  ……………………3分

∴數列{b_n}是首項為2，公比為2的等比數列。  ………………4分

（Ⅱ）解：   ………………5分

由（Ⅰ）得    …………7分

∴   ………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得   ………………9分

利用錯位相減法可得，  ………………14分

19．解：（Ⅰ）由已知得  ………………2分

又

可得    ………………4分

又

即

（0，x₁）

x₁

(x₁,x₂)

x₂

(x₂,2)

+

0

－

0

+

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

所以為的極大值，為的極小值.……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）

…………9分

……12分

……13分

20．解：（Ⅰ）由題意知

則雙曲線方程為：……3分

（Ⅱ）設

設PQ方程為：代入雙曲線方程可得：

由于P、Q都在雙曲線的右支上，所以， 

……4分

……5分

由于

由……6分

……7分

此時

     ……8分

（Ⅲ）存在實數，滿足題設條件

……9分

   把（3）（4）代入（2）得：……（5）

由（1）（5）得：……11分

，滿足題設條件.    ………………13分