題目列表(包括答案和解析)
（14分）已知定義在
的函數
同時滿足以下三條：①對任意的
，總有
；②
；③當
時，總有
成立．
（1）函數
在區間上是否同時適合①②③？并說明理由；
（2）假設存在
，使得
且
，求證：
．
（本小題滿分14分）
已知定義在
的函數
同時滿足以下三條：①對任意的
，總有
；②
；③當
時，總有
成立．
（1）函數
在區間上是否同時適合①②③？并說明理由；
（2）設
，且
，試比較
與
的大小；
（3）假設存在
，使得
且
，求證：
．
小題滿分14分）
的函數
同時滿足以下三條：①對任意的
，總有
；②
；③當
時，總有
成立．
在區間上是否同時適合①②③？并說明理由；
，且
，試比較
與
的大�。�
，使得
且
，求證：
．已知定義域為
的函數
同時滿足以下三個條件：
[1] 對任意的
，總有
；
[2] 
；
[3] 若
，
，且
，則有
成立，
并且稱為“友誼函數”，請解答下列各題：
(1)若已知為“友誼函數”，求
的值；
(2)函數
在區間上是否為“友誼函數”？并給出理由.
(3)已知為“友誼函數”，假定存在
，使得
且
，
求證：
.
已知定義域為
的函數
同時滿足以下三個條件：
[1] 對任意的
，總有
；
[2] 
；
[3] 若
，
，且
，則有
成立，
并且稱為“友誼函數”，請解答下列各題：
(1)若已知為“友誼函數”，求
的值；
(2)函數
在區間上是否為“友誼函數”？并給出理由.
(3)已知為“友誼函數”，假定存在
，使得
且
，
求證：
.
1―5 BCDAB 6―10 CDBCB
11．
12．
13．13 14．
15．
16．（1）
由題，
或
，
或
， 又
，
故
或
．
（2）當
時，
，
按向量
平移后得到函數
的圖象，故
．
17．（1）當
時，
，即有
又
，
是公比為3的等比數列，且
，故
．
（2）由（1），
，又
，
依題
成等比數列，有
，
解得
或
，因
的各項均為正數，
，故
．
18．（1）證明：
是正數，由重要不等式知，
故
（當
時等號成立）．
（2）若
，不等式
仍然成立．
證明：由（1）知，當
時，不等式成立；當
時，
，
而
此時不等式仍然成立．
19．（1）記數列
的前
項和為
，則依題有
，故
故數列的通項為
．故
，易知，
．
（2）假設存在實數
，使得當
時，
對任意
恒成立，
則
都成立，
20．（1）
表示當甲公司不投入宣傳費時，乙公司要避免新產品的開發有失敗風險，至少要投入10萬元宣傳費；
表示當乙公司不投入宣傳費時，甲公司要避免新產品的開發有失敗的風險，至少要投入20萬元宣傳費.
（2）設甲公司投入宣傳費x萬元，乙公司投入宣傳費y萬元，若雙方均無失敗的風險，
依題意，當且僅當
成立．
故
，則
，得
故
即在雙方均無失敗風險的情況下盡可能少地投入宣傳費用，甲公司應投入24萬元宣傳費，乙公司應投入16萬元的宣傳費用．
21．（1）顯然
，在[0，1]滿足①
；滿足②
；
對于③，若
，
則
．故
適合①②③．
（2）由③知，任給
時，當
時，
由于
，
所以
若
，則
前后矛盾
若
，則
前后矛盾
故
得證．
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