題目列表(包括答案和解析)
（12分）定義
的“倒平均數”為
，已知數列
前
項的“倒平均數”為
．
（1）記
，試比較
與
的大小；
（2）是否存在實數
，使得當
時，
對任意
恒成立？若存在,求出最大的實數；若不存在，說明理由．
（13分）設
為數列
的前n項和，且對任意
都有
，記
（1）求
；
（2）試比較
與
的大小；
（3）證明：
。
（13分）設
為數列
的前n項和，且對任意
都有
，記
（1）求
；
（2）試比較
與
的大小；
（3）證明：
。
設
為數列
的前n項和，且對任意
都有
，記
（1）求
；
（2）試比較
與
的大小；
（3）證明：
。
為數列
的前n項和，且對任意
都有
，記
；
與
的大小；
。
1―5 BCDAB 6―10 CDBCB
11．
12．
13．13 14．
15．
16．（1）
由題，
或
，
或
， 又
，
故
或
．
（2）當
時，
，
按向量
平移后得到函數
的圖象，故
．
17．（1）當
時，
，即有
又
，
是公比為3的等比數列，且
，故
．
（2）由（1），
，又
，
依題
成等比數列，有
，
解得
或
，因
的各項均為正數，
，故
．
18．（1）證明：
是正數，由重要不等式知，
故
（當
時等號成立）．
（2）若
，不等式
仍然成立．
證明：由（1）知，當
時，不等式成立；當
時，
，
而
此時不等式仍然成立．
19．（1）記數列
的前
項和為
，則依題有
，故
故數列的通項為
．故
，易知，
．
（2）假設存在實數
，使得當
時，
對任意
恒成立，
則
都成立，
20．（1）
表示當甲公司不投入宣傳費時，乙公司要避免新產品的開發有失敗風險，至少要投入10萬元宣傳費；
表示當乙公司不投入宣傳費時，甲公司要避免新產品的開發有失敗的風險，至少要投入20萬元宣傳費.
（2）設甲公司投入宣傳費x萬元，乙公司投入宣傳費y萬元，若雙方均無失敗的風險，
依題意，當且僅當
成立．
故
，則
，得
故
即在雙方均無失敗風險的情況下盡可能少地投入宣傳費用，甲公司應投入24萬元宣傳費，乙公司應投入16萬元的宣傳費用．
21．（1）顯然
，在[0，1]滿足①
；滿足②
；
對于③，若
，
則
．故
適合①②③．
（2）由③知，任給
時，當
時，
由于
，
所以
若
，則
前后矛盾
若
，則
前后矛盾
故
得證．
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