題目列表(包括答案和解析)
如圖，已知P為矩形ABCD所在平面外一點，PA
平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點．
(Ⅰ)求證：EF∥平面PAD；
(Ⅱ)求證：EFCD；
(Ⅲ)若，∠PDA=45°，求EF與平面ABCD所成角的大小．
如圖，已知P為矩形ABCD所在平面外一點，M、N分別為AB、PC的中點，求證：MN∥平面PAD．
（8分）如圖，已知點P為矩形ABCD所在平面外一點，且
平面ABCD，
=
，點E是棱PB的中點.
（Ⅰ）求證： 
平面
；
（Ⅱ）若
，求二面角
的大小..
如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、
PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；
（3）若ÐPDA＝45°求EF與平面ABCD所成的角的大小．
【解析】本試題主要考查了線面平行和線線垂直的運用，以及線面角的求解的綜合運用
第一問中，利用連AC，設AC中點為O，連OF、OE在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點 ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分別為AB、AC的中點 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．
第二問中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC∴ EO為EF在平面AC內的射影 ∴ CD⊥EF．
第三問中，若ÐPDA＝45°，則 PA＝AD＝BC ∵
EO
BC，FO
PA
∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°
證：連AC，設AC中點為O，連OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分別為PC、AC的中點∴ FO∥PA …………① 在△ABC中，∵ E、O分別為AB、AC的中點 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知：平面EFO∥平面PAD
∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．
（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC ∴ EO為EF在平面AC內的射影 ∴ CD⊥EF．
（3）若ÐPDA＝45°，則 PA＝AD＝BC ∵ EOBC，FOPA
∴ FO＝EO 又 ∵ FO⊥平面AC ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°
一、選擇題（本大題共12小題，每小題4分，共48分）
1.C 2.A 3.D 4.D 5.D 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13.
x∈R，x≤0
14.－15 15.－1 16.
三、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）
17.(本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）由已知c＝1，則a2－b2＝1．
又
故a2＝4，b2＝3.
所求橢圓方程為
．……………………………………………6分
（Ⅱ）由
解得
又
，
于是
……………………………………12分
18.（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）因為雙曲線的焦點在y軸上，設所求雙曲線的方程為
．
由題意，得
解得a＝2，b＝1．
所求雙曲線的方程為
…………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F1（0，－
），F2（0，）．
點F1，F2關于直線y＝x的對稱點分別為F1′（－，0），F2′（，0），又P（0，2），設橢圓方程為
（m＞n＞0）．
由橢圓定義，得
因為m2－n2＝5，所以n2＝4．
所以橢圓的方程為
.………………………………………12分
19.（本小題滿分12分）
證明：如圖，建立空間直角坐標系A－xyz，設AB＝
則A（0，0，0），B（
∵E為AB的中點，F為PC的中點，
∴E（a，0，0），F（a，b，c）.
（Ⅰ）∵
＝（0，b，c），
＝（0，0，
＝（0，2b，0），
∴＝
（＋）.
∴與、共面.
又∴
平面PAD，
∴EF∥平面PAD.……………………4分
（Ⅱ）∵
=（
∴?＝（
∴EF
CD.…………………………………………………………8分
（Ⅲ）若∠PDA＝45°則有2b＝
∴＝（0，b，b），＝（0，0，2b）.
∴
＜，＞＝
∴＜，＞＝45°.
∵AP平面ABCD，
∴是平面ABCD的法向量.
∴EF與平面ABCD所成的角為90°－＜，＞＝45°.……12分
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