題目列表(包括答案和解析)
已知橢圓的焦點為F1（－1，0）和F2 （1，0），點P是橢圓上的一點，且
是
和
的等差中項。則該橢圓的方程為
( )
A.
B.
C.
D.
已知橢圓的長軸長為
，焦點是
，點
到直線
的距離為
，過點
且傾斜角為銳角的直線
與橢圓交于A、B兩點，使得
.
(1)求橢圓的標準方程； (2)求直線l的方程．
【解析】（1）中利用點F1到直線x＝－
的距離為
可知－
＋＝.得到a2＝4而c＝，∴b2＝a2－c2＝1.
得到橢圓的方程。（2）中，利用
，設出點A(x1，y1)、B(x2，y2)．，借助于向量公式
再利用 A、B在橢圓
＋y2＝1上， 得到坐標的值，然后求解得到直線方程。
解:(1)∵F1到直線x＝－的距離為，∴－＋＝.
∴a2＝4而c＝，∴b2＝a2－c2＝1.
∵橢圓的焦點在x軸上，∴所求橢圓的方程為＋y2＝1.……4分
(2)設A(x1，y1)、B(x2，y2)．由第(1)問知
,
∴……6分
∵A、B在橢圓＋y2＝1上，
∴
……10分
∴l的斜率為
＝
.
∴l的方程為y＝(x－)，即x－y－
＝0.
已知F1（－1，0）、F2（1，0）是橢圓的兩焦點，過F1的直線L交橢圓于M、N，若△MF2N的周長為8，則橢圓方程為
A．
B．
C．
D．
已知橢圓C：
＋
＝1（a＞b＞0）的左．右焦點為F1、F2，離心率為e. 直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關于直線l的對稱點，設
＝λ
.
（Ⅰ）證明：λ＝1－e2；
（Ⅱ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.
＋
＝1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1、F2，離心率為e。直線l：y＝ex＋a與x軸、y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關于直線l的對稱點，設
＝λ
。 （Ⅰ）證明：λ＝1－e2
（Ⅱ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形。
一、選擇題（本大題共12小題，每小題4分，共48分）
1.C 2.A 3.D 4.D 5.D 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13.
x∈R，x≤0
14.－15 15.－1 16.
三、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）
17.(本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）由已知c＝1，則a2－b2＝1．
又
故a2＝4，b2＝3.
所求橢圓方程為
．……………………………………………6分
（Ⅱ）由
解得
又
，
于是
……………………………………12分
18.（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）因為雙曲線的焦點在y軸上，設所求雙曲線的方程為
．
由題意，得
解得a＝2，b＝1．
所求雙曲線的方程為
…………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F1（0，－
），F2（0，）．
點F1，F2關于直線y＝x的對稱點分別為F1′（－，0），F2′（，0），又P（0，2），設橢圓方程為
（m＞n＞0）．
由橢圓定義，得
因為m2－n2＝5，所以n2＝4．
所以橢圓的方程為
.………………………………………12分
19.（本小題滿分12分）
證明：如圖，建立空間直角坐標系A－xyz，設AB＝
則A（0，0，0），B（
∵E為AB的中點，F為PC的中點，
∴E（a，0，0），F（a，b，c）.
（Ⅰ）∵
＝（0，b，c），
＝（0，0，
＝（0，2b，0），
∴＝
（＋）.
∴與、共面.
又∴
平面PAD，
∴EF∥平面PAD.……………………4分
（Ⅱ）∵
=（
∴?＝（
∴EF
CD.…………………………………………………………8分
（Ⅲ）若∠PDA＝45°則有2b＝
∴＝（0，b，b），＝（0，0，2b）.
∴
＜，＞＝
∴＜，＞＝45°.
∵AP平面ABCD，
∴是平面ABCD的法向量.
∴EF與平面ABCD所成的角為90°－＜，＞＝45°.……12分
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