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設函數．

（I）求的單調區間；

（II）當0<a<2時，求函數在區間上的最小值．

【解析】第一問定義域為真數大于零，得到．．                            

令，則，所以或，得到結論。

第二問中， （）．

．                          

因為0<a<2，所以，．令 可得．

對參數討論的得到最值。

所以函數在上為減函數，在上為增函數．

（I）定義域為．           ………………………1分

．                            

令，則，所以或．  ……………………3分          

因為定義域為，所以．                            

令，則，所以．

因為定義域為，所以．          ………………………5分

所以函數的單調遞增區間為，

單調遞減區間為．                         ………………………7分

（II） （）．

．                          

因為0<a<2，所以，．令 可得．…………9分

所以函數在上為減函數，在上為增函數．

①當，即時，            

在區間上，在上為減函數，在上為增函數．

所以．         ………………………10分  

②當，即時，在區間上為減函數．

所以．               

綜上所述，當時，；

當時，

 

若函數在定義域內存在區間，滿足在上的值域為，則稱這樣的函數為“優美函數”.

（Ⅰ）判斷函數是否為“優美函數”？若是，求出；若不是，說明理由；

（Ⅱ）若函數為“優美函數”，求實數的取值范圍．

【解析】第一問中，利用定義，判定由題意得，由，所以

第二問中， 由題意得方程有兩實根

設所以關于m的方程在有兩實根，

即函數與函數的圖像在上有兩個不同交點，從而得到t的范圍。

解（I）由題意得，由，所以     （6分）

（II）由題意得方程有兩實根

設所以關于m的方程在有兩實根，

即函數與函數的圖像在上有兩個不同交點。

 

已知函數

   （I）討論在其定義域上的單調性；

   （II）當時，若關于x的方程恰有兩個不等實根，求實數k的取值范圍。

 

 已知函數

   （I）判斷函數上的單調性，并求出的值；

   （II）求函數的單調區間及其在定義域上的最小值；

   （III）是否存在實數m，n，滿足，使得函數的值域也有[m，n]？并說明理由。