題目列表(包括答案和解析)
已知函數
（
）．
(1) 若
∈{0，1，2，3}，b∈{0，1，2，3}，求方程
有實數根的概率；
(2) 若從區間
內任取一個數，
從區間
內任取一個數，求方程有實數根的概率．
一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）
1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5． 11； 6． 210； 7． 16； 8． 3； 9．
； 10．
； 11． 7； 12．
； 13．
； 14．
（結果為
，不扣分）.
二、解答題：（本大題共6小題,共90分．）
15．（本小題滿分14分）
解：（1）50；0.04；0.10 ． ………… 6分
（2）如圖． ……………… 10分
（3）在隨機抽取的
名同學中有
名
出線,
．
…………… 13分
答：在參加的
名中大概有63名同學出線．
………………… 14分
16．（本小題滿分14分）
解：
真，則有
，即
．
------------------4分
真，則有
，即
．
----------------9分
若、中有且只有一個為真命題，則、一真一假．
①若真、假，則，且
，即
≤
；
----------------11分
②若假、真，則
，且，即3≤
．
----------------13分
故所求范圍為：≤或3≤．
-----------------14分
17．（本小題滿分15分）
解：（1）設在（1）的條件下方程
有實根為事件
．
數對
共有
對．
------------------2分
若方程有實根，則
≥
，即
． -----------------4分
則使方程有實根的數對有
共
對．
------------------6分
所以方程有實根的概率
．
------------------8分
（2）設在（2）的條件下方程有實根為事件
．
，所以
．
-------------10分
方程有實根對應區域為
，
．
--------------12分
所以方程有實根的概率
．------------------15分
18．（本小題滿分15分）
解：（1）易得
．當
時，在直角
中，
，故
．所以
，
．
------------4分
所以
．
所以異面直線
與
所成角余弦值為
．- -----7分
（2）設直線
與平面
所成的角為
，平面的一個法向量為
.
則由
．得
可取
，-------11分
， 
，------------13分
，
，
． 
，
．
即直線與平面所成角的取值范圍為
．
------------------------15分
19．（本小題滿分16分）
解：（1）設
關于l的對稱點為
，則
且
，
解得
，
，即
，故直線
的方程為
．
由
，解得
．
------------------------5分
（2）因為
，根據橢圓定義，得
，所以
．又
，所以
．所以橢圓
的方程為
．
------------------------10分
（3）假設存在兩定點為
，使得對于橢圓上任意一點
（除長軸兩端點）都有
（
為定值），即
?
，將
代入并整理得
…（＊）．由題意，（＊）式對任意
恒成立，所以
，解之得 
或
．
所以有且只有兩定點
，使得
為定值
． ---------------16分
20．（本小題滿分16分）
解：（1）
．
------------------------2分
因為
，令
得
；令
得
．所以函數的增區間為
，減區間為
．
------------------------5分
（2）因為
，設
，則
．----------6分
設切點為
，則切線的斜率為
，切線方程為
即
，由點
在切線上知
，化簡得
，即
．
所以僅可作一條切線，方程是
．
------------------------9分
（3）
，．
在
上恒成立
在上的最小值
．--------------11分
①當
時，
在
上單調遞減，在
上最小值為
，不符合題意，故舍去；
------------------------12分
②當
時，令
得
．
當
時，即
時，函數在上遞增，的最小值為
；解得
．
------------------------13分
當
時，即
時，函數在上遞減，的最小值為
，無解；
-----------------------14分
當
時，即
時，函數在
上遞減、在
上遞增，所以的最小值為
，無解． ------------------------15分
綜上，所求
的取值范圍為
．
------------------------16分
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